Question

simplificando log9 4 · log16 81 · log27 8 · log8 3, obtém-se

Answer 1

Obtem-se a seguinte expressão simplificada:

$log_{3}2* log_{2}3*log_{3}2*\frac{1}{3} log_{2}3=\frac{1}{3}$

Propriedades do Logaritmo

Em matemática, o logaritmo de um número é o expoente ao qual outro valor fixo, a base, deve ser elevado para obter esse número.

log (a) b = x

a^x = b

Para simplificar os logaritmos, podemos usar algumas propriedades dos mesmos:

• Logaritmo de um produto:

$log_a b*c = log_a b + log_ac$

• Logaritmo de um quociente:

$log_a b/c = log_a b - log_ac$

• Logaritmo de uma potência:

$log_ab^m=m*log_ab$

• Mudança de base:

$log_ab=log_cb/log_ca\left\left = > \left\left log_ca\neq 0$

• Simplificação da base:

$log_a_^{x}$$b=\frac{1}{x}log_ab$

Aplicando ao exercício

Sabendo as propriedades, podemos aplicá-la da seguinte forma:

$log_{9}4*log_{16}81*log_{27}8*log_{8}3$

Simplificando, primeiramente usando a simplificação das bases:

$log_{3^2}4*log_{4^2}81*log_{3^3}8*log_{2^3}3$

$\frac{1}{2} log_{3}4*\frac{1}{2} log_{4}81*\frac{1}{3} log_{3}8*\frac{1}{3} log_{2}3$

Utilizando o logaritmo de um quociente:

$\frac{1}{2} log_{3}2^2*\frac{1}{2} log_{4}9^2*\frac{1}{3} log_{3}2^3*\frac{1}{3} log_{2}3$

$\frac{2}{2} log_{3}2*\frac{2}{2} log_{4}9*\frac{3}{3} log_{3}2*\frac{1}{3} log_{2}3$

Simplificando novamente:

$log_{3}2*log_{2^2}3^2*log_{3}2*\frac{1}{3} log_{2}3$

$log_{3}2*\frac{2}{2} log_{2}3*log_{3}2*\frac{1}{3} log_{2}3$

$log_{3}2* log_{2}3*log_{3}2*\frac{1}{3} log_{2}3=\frac{1}{3}$

Obtem-se a seguinte expressão simplificada:

$log_{3}2* log_{2}3*log_{3}2*\frac{1}{3} log_{2}3=\frac{1}{3}$

Entenda mais sobre Propriedades do Logaritmo aqui: https://brainly.com.br/tarefa/47112334

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