Question

Simplificando a expressão $\boxed{\boxed{\frac{a^4+b^4+ab^3+a^3b+ab^2+a^2b}{a^2-b^2}}}\ :a \neq b}}$, obtém-se:

a) $\frac{a}{b}$
b) $\frac{a+b}{a-b}$
c) $\frac{a^3+ab+b^3}{a-b}$
d) $\frac{3*(a+ab+b)}{a+b}$
e) $\frac{1}{b}$

Answer 1

Olá!

Organizemos os termos do numerador por grau. Veja:

$\\ \mathsf{a^4 + b^4 + ab^3 + a^3b + ab^2 + a^2b =} \\\\ \mathsf{(a^4 + a^3b) + (b^4 + ab^3) + (ab^2 + a^2b) =}$
 
 Colocando-os em evidência,

$\mathsf{a^3 \cdot (a + b) + b^3 \cdot (b + a) + ab \cdot (b + a) =}$
 
 Sabemos que na operação soma a comutatividade é verdadeira, ou seja, $a + b = b + a$.
 
  Com efeito,

$\\ \mathsf{a^3(a + b) + b^3(a + b) + ab(a + b) =} \\\\ \mathsf{(a + b) \cdot (a^3 + b^3 + ab)}$
 
 Por fim, temos que:

$\\ \mathsf{\frac{a^4 + b^4 + ab^3 + a^3b + ab^2 + a^2b}{a^2 - b^2} =} \\\\\\ \mathsf{\frac{(a + b)(a^3 + b^3 + ab)}{(a + b)(a - b)} =} \\\\\\ \boxed{\mathsf{\frac{a^3 + b^3 + ab}{a - b}}}, \mathsf{\qquad a \neq b.}$