Question

Simplificando a expressão (m + 1) * m! - m!, obtemos m * m!. Como base nesse fato, podemos inferir que o valor da expressão S = 1 * 1! + 2 * 2! + 3 * 3! + 4 * 4! + ... + 100 * 100! é:
A) 101!
B) 101! - 100
C) 101! + 100
D) 101! - 1
E) 101! + 1

Answer 1

Cara é a letra D.
Agora a explicação é que vc substitui a informação na expressão dada.
$((1 + 1) \times fat(1) - fat(1)) + ((2 + 1) \times fat(2) - fat(2)) + ... + (100 + 1) \times fat(100) - fat(100) \\ (fat(2) - fat(1)) + (fat(3) - fat(2)) + ... + (fat(101) - fat(100) \\ - fat(1) + fat(101) \\ fat(101) - 1$

Answer 2

O valor da expressão S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + ... + 100.100! é 101! - 1.

Vamos provar que 1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + n.n! = (n + 1)! - 1 utilizando o método da indução.

Temos que P[n] é 1.1! + 2.2! + 3.3! + ... +  n.n! = (n + 1)! - 1.

Quando n = 1, tem - se que 1.1! = 1 = 2! - 1.

Portanto, P[1] é válida.

Hipótese de Indução: Suponha que P[n] é válida para um natural n arbitrário fixado. Ou seja, suponha que vale 1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + n.n! = (n + 1)! - 1. Deve-se provar que 1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + (n + 1).(n + 1)! = (n + 2)! - 1, isto é, que P[n + 1] é verdade:

1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + n.n! + (n + 1).(n + 1)! =

(n + 1)! - 1 + (n + 1).(n + 1)! =

(n + 1)!(1 + n + 1) - 1 =

(n + 1)!(n + 2) - 1 =

(n + 2)! - 1.

Portanto, P[n + 1] é verdadeira. Como o natural n inicial era arbitrário, provou-se então que para todo n ∈ IN, P[n] ⇒ P[n + 1].

Pelas etapas acima e pelo PIM, tem-se que P[n] é válida para todo n natural, cqd.

Como vimos acima, 1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + n.n! = (n + 1)! - 1 é verdade. Então, podemos concluir que a soma S é igual a:

S = (100 + 1)! - 1

S = 101! - 1.

Para mais informações sobre princípio da indução: https://brainly.com.br/tarefa/18264529