Question

Sim: $f(x) = \prod\limits_{n=1}^{100}(x-n)^{n(101-n)}$ Encontrar: $\dfrac{f{(101)}}{f'(101)}$​

Answer 1

O quociente vale

                                                 $\large\displaystyle\begin{gathered} \frac{f(101)}{f'(101)} = \frac{1}{5050}\end{gathered}$

Sabendo que

                                           $\large\displaystyle\begin{gathered}f(x) = \prod_{n = 1}^{100} \left(x-n\right)^{n\left(101-n\right)\end{gathered}$

Aplicando ln dos dois lados da igualdade

                              $\large\displaystyle\begin{gathered}\ln \left(f(x)\right) = \ln\left( \prod_{n = 1}^{100} \left(x-n\right)^{n\left(101-n\right)\right)\end{gathered}$

Aplicando as propriedades do log, o produtório vira uma soma e o expoente passa multiplicando, portanto

                               $\large\displaystyle\begin{gathered}\ln \left(f(x)\right) = \sum_{n=1}^{100} n\left(101-n\right)\ln\left(x-n\right)\end{gathered}$

Porém note que

                                           $\large\displaystyle\begin{gathered}\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\ln(f(x))\right] = \dfrac{f'(x)}{f(x)}\end{gathered}$

Logo

                               $\large\displaystyle\begin{gathered}\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[ \sum_{n=1}^{100} n\left(101-n\right)\ln\left(x-n\right)\right] = \frac{f'(x)}{f(x)}\end{gathered}$

Derivando a série obtemos

                     $\large\displaystyle\begin{gathered}\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[ \sum_{n=1}^{100} n\left(101-n\right)\ln\left(x-n\right)\right] = \sum_{n=1}^{100}\frac{n\left(101-n\right)}{x-n}\end{gathered}$

Ou seja, obtemos a relação entre a derivada de f e a f

                                         $\large\displaystyle\begin{gathered} \frac{f'(x)}{f(x)} = \sum_{n=1}^{100}\frac{n\left(101-n\right)}{x-n}\end{gathered}$

Para o caso onde x = 101

                                       $\large\displaystyle\begin{gathered} \frac{f'(101)}{f(101)} = \sum_{n=1}^{100}\frac{n\left(101-n\right)}{101-n}\end{gathered}$

Onde podemos simplificar o denominador sobrando apenas

                                                    $\large\displaystyle\begin{gathered} \frac{f'(101)}{f(101)} = \sum_{n=1}^{100}n\end{gathered}$

O problema se resume então a calcular a soma dos 100 primeiros naturais, podemos utilizar a soma de P.A com termo inicial igual a 1 e razão 1.

                            $\large\displaystyle\begin{gathered} \sum_{n=1}^{100}n = \frac{\left(a_1+a_n\right)n}{2} = \frac{\left(1+100\right)100}{2} = 5050\end{gathered}$

Logo

                                          $\large\displaystyle\begin{gathered} \frac{f'(101)}{f(101)} = \sum_{n=1}^{100}n = 5050\end{gathered}$

O que nos leva a razão

                                                   $\large\displaystyle\begin{gathered} \frac{f'(101)}{f(101)} = 5050\end{gathered}$

Como a razão pedida é a inversa, basta inverter o resultado, chegando assim no resultado final.

                                                   $\large\displaystyle\begin{gathered} \frac{f(101)}{f'(101)} = \frac{1}{5050}\end{gathered}$

Espero ter ajudado

Qualquer dúvida respondo nos comentários.