Matemática, perguntado por vita123ramoos, 1 ano atrás

Sidney emprestou R$ 1000,00 ao seu amigo Paulo, no regime de juro simples. Combinaram uma taxa de 3% ao mês. No final do emprestimo, Paulo pagou a Sidney R$ 1045,00. Por quantos dias o dinheiro ficou emprestado?

Soluções para a tarefa

Respondido por biel123478

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Respondido por viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

a)os juros aplicados são simples, ou seja, sempre aplicados em relação ao valor inicial, mês após mês, desconsiderando-se os acréscimos sucessivos gerados pela taxa;

b)capital (C) aplicado: R$1000,00 (Corresponde, nas palavras do problema, ao termo "emprestou", que indica o tipo de quantia que o amigo possuía.)

c)taxa (i) do juro simples: 3% ao mês;

d)juros (J) rendidos na aplicação: ?

e)os juros simples podem ser determinados por meio da fórmula J=C.i.t, em que C representa o capital, o valor investido inicialmente, i é a taxa aplicada ao investimento e indica a forma do aumento do capital e t o tempo em que a quantia ficou aplicada;

e)tempo (t) da aplicação: ? (Em dias.)

f)montante (M) ou o valor inicialmente investido acrescido dos juros: R$1045,00 (Corresponde, nas palavras do problema, à expressão "no final do empréstimo", que implica no valor inicialmente emprestado acrescido dos juros instituídos por Sidnei.)

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(II)Aplicação das informações indicadas no problema na expressão matemática do montante em juro simples, para a determinação da quantia devolvida (montante) a Sidnei:

OBSERVAÇÃO 1: A taxa (i) e o tempo (t) da aplicação devem estar relacionadas a uma mesma unidade de tempo. Nesta questão, verifica-se que i e t referem-se a mês, razão pela qual não será necessária nenhuma conversão. Será considerado, inicialmente, o tempo em meses e, posteriormente, será feita a conversão em dias.

OBSERVAÇÃO 2: A taxa (i), ao ser inserida na fórmula, deve ser alterada de 3% para um número decimal, 0,03 (porque 3%=3/100=0,03), ou para uma fração, a saber, 3/100. Na resolução, por questão de facilidade nas simplificações e nas multiplicações, será considerada a forma fracionária.

M = C + J (Substituindo J = C . i . t.)

M = C + (C . i . t) ⇒ (Colocando C em evidência.)

M = C . (1 + (i . t)) ⇒

1045 = 1000 . (1 + ((3/100) . t)) ⇒ (Aplicando a propriedade distributiva.)

1045 = 1000 + (3000t)/100 ⇒

1045 = 1000 + (30t) ⇒

1045 - 1000 = 30t ⇒

45 = 30t ⇒

45/30 = t ⇒

1,5 = t ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

t = 1,5 mês

→Convertendo-se o tempo de meses a dias, tem-se:

1 mês -------------- 30 dias

1,5 mês------------ t dias

Realizando-se a multiplicação cruzada:

1 . t = 30 . (1,5) (Note que 1,5 pode ser representado 15/10.)

t = 30 . (15/10) ⇒

t = 3 . 15 ⇒ t = 45 dias

Resposta: O dinheiro ficou emprestado por 45 dias.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo t = 1,5 e J = C.i.t na equação do montante em juro simples e omitindo, por exemplo, o montante (M), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o valor do tempo em dias, obtido na conversão e equivalente a 1,5 mês, realmente corresponde ao afirmado:

M = C + J (Substituindo J = C.i.t.)

M = C + (C . i . t)

M = 1000 + (1000 . (3/100) . (1,5)) ⇒

M = 1000 + (10 . (3) . (1,5) ⇒

M = 1000 + (30 . (15/10) ⇒

M = 1000 + (3 . 15) ⇒

M = 1000 + 45 ⇒

M = 1045 (Provado que t = 45 dias.)

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