Question

Sex milhões de reais forem gastos em salários e y milhões em equipamento, a produção de certa fábrica será de Q(x,y) = 60.x^1/3*y^2/3 unidades.
Tendo 120 milhões de reais disponíveis, como deverá ser feita a distribuição entre salários e equipamento, para gerar a maior produção possível?

Answer 1

Utilizando multiplicadores de Lagrange podemos encontrar que serão gastos 40 milhões com salários e 80 milhões com equipamento.

Explicação passo-a-passo:

Esta é uma questão de multiplicadores de Lagrange.

Sabendo disto, temos nossa função:

$Q(x,y)=60x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{2}{3}}$

E sabemos que temos ao todo 120 milhões disponíveis , então a soma dos gastos deve ser 120:

$x+y=120$

A formulação de multiplicadores de Lagrange é dada por:

$\vec{\nabla}f(x,y,z)=\lambda \vec{\nabla}g(x,y,z)$

Onde neste caso:

$f(x,y)=Q(x,y)=60x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{2}{3}}$

$g(x,y)=x+y=120$

Então separando as derivadas:

$\frac{dQ}{dx}=\lambda \frac{dg}{dx}$

$\frac{dQ}{dy}=\lambda \frac{dg}{dy}$

$20x^{-\frac{2}{3}}y^{\frac{2}{3}}=\lambda$

$40x^{\frac{1}{3}}y^{-\frac{1}{3}}=\lambda$

Como estas duas equações são iguais, podemos iguala-las:

$20x^{-\frac{2}{3}}y^{\frac{2}{3}}=40x^{\frac{1}{3}}y^{-\frac{1}{3}}$

Podemos simplifica-la, isolando y e x:

$y^{\frac{1}{3}}y^{\frac{2}{3}}=2x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{2}{3}}$

Simplificando os expoentes:

$y=2x$

Assim chegamos que y tem que ser igual ao dobro de x, mas como sabemos que:

$x+y=120$

$x+(2x)=120$

$3x=120$

$x=40$

Então:

$y=80$

Assim temos que serão gastos 40 milhões com salários e 80 milhões com equipamento.