Question

Sete pessoas são colocadas aleatoriamente em fila. Se há três irmãos entre essas pessoas. Qual é a probabilidade de eles ficarem juntos?

a) 1/2

b) 1/3

c) 1/4

d) 1/5

e) 1/7

ME AJUUUDEEEM!!!​​

Answer 1

Olá, boa tarde.

Sete pessoas são colocadas aleatoriamente em fila. Se há três irmãos entre essas pessoas, qual é a probabilidade de eles ficarem juntos?

Primeiro, considere a seguinte sequência:

$PPPPIII$, em que $P$ denota o número de pessoas aleatórias na fila e $I$ denota um irmão.

Esta sequência forma uma palavra, a qual o número de permutações nos permite determinar o espaço amostral.

Lembre-se que a permutação de $n$ elementos com repetição de elementos é calculada pela fórmula: $P_n^{\alpha,~\beta,\cdots}=\dfrac{n!}{\alpha!\cdot \beta!\cdots!}$, em que $\alpha,~\beta$ são a quantidade de vezes que cada elemento se repete.

Substituindo $n=7$ e fazendo $\alpha=4$, o número de vezes que $P$ se repete e $\beta=3$, o número de vezes que $I$ se repete, temos:

$P_7^{4,~3}=\dfrac{7!}{4!\cdot 3!}$

Calcule a expressão, dada a definição de fatorial: $n!=n\cdot (n-1)\cdots 1,~n\in\mathbb{N}$

$P_7^{4,~3}=\dfrac{7\cdot6\cdot5\cdot4!}{4!\cdot 3\cdot2\cdot1}\\\\\\ P_7^{4,~3}=35$

Agora, considerando que os irmãos estarão juntos, determinamos o evento favorável ao que é pedido no enunciado.

Ou seja, os irmãos $III$ formam um bloco $T$, em que a ordem dos irmãos não importa.

Assim, devemos calcular o total de permutações de $PPPPT$.

Usamos novamente a fórmula para permutação com repetição, dessa vez fazendo $n=5$ e  $\alpha=4$

$P_5^4=\dfrac{5!}{4!}$

Calcule a expressão

$P_5^4=\dfrac{5\cdot4!}{4!}\\\\\\ P_5^4=5$

Por fim, lembre-se que a probabilidade de um evento ocorrer é calculado como a razão entre a quantidade de eventos favoráveis e o número de elementos do espaço amostral.

Seja $E$ o conjunto de eventos favoráveis ao acontecimento, um sub-conjunto do conjunto $\Omega$, o espaço amostral. A probabilidade $P(E)$ é calculada pela fórmula: $P(E)=\dfrac{n(E)}{n(\Omega)}$, em que $n(E)$ é o número de elementos do conjunto

Veja que, neste caso, pede-se a probabilidade de que estes irmãos estejam juntos. Logo, devemos dividir o número de permutações nas quais os irmãos estão juntos pelo total de permutações possíveis:

$P(\sf{irm\~aos~juntos)=\dfrac{5}{35}$

Simplifique a fração por um fator $5$

$P(\sf{irm\~aos~juntos)=\dfrac{1}{7}$

Esta é a probabilidade que buscávamos e é a resposta contida na letra e).