Question

serie de potencia para representá-las

Answer 1

(a) Primeiramente, tomemos a função $g(x)=\mathrm{sen\,}x.$

Sabemos que uma série de potências para $g(x)$ é a série de Taylor da função seno, desenvolvida em torno de $x_{0}=0:$

$S_{g}(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\dfrac{g^{(n)}(0)}{n!}\,x^{n}}$


No ponto $x_{0}=0,$ Sabemos que as derivadas de ordem par da função seno se anulam, enquanto as derivadas de ordem ímpar são $\pm 1.$ O sinal depende da paridade da ordem da derivada:

$S_{g}(x)=x-\dfrac{x^{3}}{3!}+\dfrac{x^{5}}{5!}-\ldots +\dfrac{(-1)^{k}\cdot x^{2k+1}}{(2k+1)!}+\ldots\\ \\ \\ S_{g}(x)=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{\infty}{\dfrac{(-1)^{k}\cdot x^{2k+1}}{(2k+1)!}}$


Sabemos também que a série acima converge para todo $x \in \mathbb{R}.$ Para verificar, é só fazer o teste da razão e verificar que, independente do valor de $x,$ o limite dá sempre zero:

$\displaystyle\lim_{k\to \infty}\dfrac{|a_{k+1}|}{|a_{k}|}\\ \\ \\ =\lim_{k\to \infty}\dfrac{|x|^{2k+3}}{(2k+3)!}\cdot \dfrac{(2k+1)!}{|x|^{2k+1}}\\ \\ \\ =\lim_{k\to \infty}\dfrac{|x|^{3}}{(2k+3)(2k+2)}\cdot \dfrac{1}{|x|}\\ \\ \\ =\lim_{k\to \infty}\dfrac{x^{2}}{(2k+3)(2k+2)}=0<1\,,\;\forall~x\in\mathbb{R}$


A função seno é uma função analítica, portanto ela coincide com a sua série de Taylor (que é a série de potências da função $g$):

$\mathrm{sen\,}x=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{\infty}{\dfrac{(-1)^{k}\cdot x^{2k+1}}{(2k+1)!}}$


Multiplicando os dois lados da igualdade acima por $x,$ obtemos a função $f(x):$

$x\,\mathrm{sen\,}x=x\cdot \displaystyle\sum\limits_{k=0}^{\infty}{\dfrac{(-1)^{k}\cdot x^{2k+1}}{(2k+1)!}}\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{c}f(x)=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{\infty}{\dfrac{(-1)^{k}\cdot x^{2k+2}}{(2k+1)!}} \end{array}}\;\;\;\;\forall~x\in\mathbb{R}.$


De forma análoga a serie do seno, encontramos que o raio de convergência para a função $f$ também é $R=\infty,$ pois a série converge para todo $x \in \mathbb{R}.$
 

(b) $f(x)=\dfrac{x}{2-3x}$

$f(x)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{x}{1-\frac{3}{2}\,x}\\ \\ \\ f(x)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{\frac{3}{2}\,x}{1-\frac{3}{2}\,x}\\ \\ \\ f(x)=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{\frac{3}{2}\,x}{1-\frac{3}{2}\,x}$


A menos do fator multiplicativo $\dfrac{1}{3},$ reconhecemos a função como a soma de uma série geométrica:

$\dfrac{a_{1}}{1-q}=a_{1}+a_{1}\cdot q+a_{1}\cdot q^{2}+\ldots+a_{1}\cdot q^{k}+\ldots\\ \\ \\ \dfrac{a_{1}}{1-q}=a_{1}\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{\infty}{q^{k}}$


Comparando a série encontrada para a função $f$ com a série geometrica, obtemos

$\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{\frac{3}{2}\,x}{1-\frac{3}{2}\,x}=\dfrac{1}{3}\cdot \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\left(\dfrac{3x}{2} \right )\cdot \left(\dfrac{3x}{2}\right)^{k-1}}\\ \\ \\ f(x)=\dfrac{1}{3}\cdot \displaystyle\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\left(\dfrac{3x}{2}\right)^{k}}$


Sabemos que a série geométrica só converge quando

$|q|<1\\ \\ \left|\dfrac{3x}{2}\right|<1\\ \\ \\ |3x|<2\\ \\ |x|<\dfrac{2}{3}$


Este é o raio de convergência: $R=\dfrac{2}{3}.$


Vamos dar uma melhorada na expressão final da série:

$\boxed{\begin{array}{c}f(x)=\dfrac{1}{3}\cdot \displaystyle\sum\limits_{k=1}^{\infty}{\dfrac{3^{k}}{2^{k}}\,x^{k}} \end{array}}\;\;\;\;\forall~x\in \left(-\dfrac{2}{3},\;\dfrac{2}{3} \right ).$


(c) De forma análoga ao que foi feito o exercício (a), sabemos que a expansão em série de Taylor da função exponencial $g(t)=e^{t},$ em torno de $t_{0}=0$ é

$g(t)=e^{t}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{\infty}{\dfrac{t^{k}}{k!}}$


Novamente, aqui a série converge para todo $t \in \mathbb{R},$ e para todos os valores de $t$ a série coincide com a função $g(t).$


Nesta questão, queremos encontrar uma série para a função

$f(x)=g(4-x)=e^{4-x}\\ \\ f(x)=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{\infty}{\dfrac{(4-x)^{k}}{k!}}\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{c}f(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}{\dfrac{(-1)^{k}\cdot (x-4)^{k}}{k!}}\end{array}}\;\;\;\;\forall~x\in\mathbb{R}.$


Se calcularmos o raio de convergência pelo critério da razão

$\displaystyle\lim_{k\to \infty}\dfrac{|a_{k+1}|}{|a_{k}|},$

chegaremos no mesmo resultado da letra (a). O raio de convergência é infinito, ou seja, a série converge em toda a reta real.