Question

Seria possível me ajudar com as contas desse problema matemático?

Answer 1

$x = 2 - {x}^{2} \\ x - 2 + {x}^{2} = 0 \\ {x}^{2} + x - 2 = 0 \\ {x}^{2} + 2x - x - 2 = 0 \\ x \times (x + 2) - (x + 2) = 0 \\ (x + 2) \times (x - 1) = 0 \\ \\ x + 2 = 0 \\ x - 1 = 0 \\ \\ x = - 2 \\ x = 1 \\ x_{1} = 2. \: x_{2} = 1$

Solução

x↓1 = -2, x↓2 = 1

Espero que ajude!

Answer 2

Resposta: $\sf\frac{9}{2} u.a$

Temos as seguintes funções:

$\sf y = 2 - x {}^{2} \: \: \: e \: \: \: y = x$

Primeiro devemos encontrar os pontos de intersecção entre as funções, pois os pontos de Intersecção serão os limites de integração usados para descobrir a área formada pela curva y = 2 - x² e a reta y = x, para encontrar esses tais pontos, basta igualar as duas funções:

$\sf 2 - x {}^{2} = x\Longleftrightarrow 2 - x {}^{2} - x = 0\Longrightarrow \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\: \: \\ \\ \Longleftrightarrow\sf - x {}^{2} - x + 2 = 0\Longleftrightarrow - x {}^{2} - 2x + x + 2= 0\Longrightarrow \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \Longleftrightarrow\sf - x {}^{2} + x - 2x + 2 = 0\Longleftrightarrow x( - x + 1) + 2.( - x + 1) = 0\Longrightarrow \\ \sf \\ \Longleftrightarrow\sf ( - x + 1).(x + 2) = 0\Longrightarrow \begin{cases} \sf x_1 = 1 \: \: e \: \: x_2 = - 2\end{cases} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Temos então que esses serão os limites de integração. Partindo de que uma integral de uma área é dada por:

$\sf \int \limits _ {a}^{b} f(x) - g(x)dx$

Sendo os termos "a" e "b" os limites que encontramos, f(x) a função que se encontra acima e g(x) a função que se encontra abaixo, essa configuração pode ser observada através do gráfico dessas duas funções. (O gráfico estará anexado na resposta). Se você observar a função 2 - x² se encontra acima, então temos que:

$\sf \int \limits _ { - 2}^{1}( 2 - x {}^{2} - x)dx\Longleftrightarrow \int \limits _ { - 2}^{1}(x {}^{2} - x + 2)dx$

Vamos usar a seguinte propriedade pra aplicar a integral em cada uma dessas funções:

$\orange\bigstar \: \sf \int [f(x) \pm g(x)]dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx$

Essa propriedade nos permite aplicar a integral em cada uma das funções envolvidas na integral:

$- \sf \int \limits _ { - 2}^{1} x {}^{2} dx - \int \limits _ { - 2}^{1} xdx + \int \limits _ { - 2}^{1} 2dx$

Para facilitar o cálculo, vamos remover aquele número 2 de dentro da integral, já que constantes transitam livremente para dentro e fora da integral, isso pode ser visto na propriedade abaixo:

$\orange\bigstar\sf \int k.f(x)dx = k\int f(x)dx$

Aplicando a propriedade:

$\sf - \int \limits _ { - 2}^{1} x {}^{2} dx - \int \limits _ { - 2}^{1} xdx + 2\int \limits _ { - 2}^{1}1.dx$

Para finalizar a integração dessa função, devemos aplicar a regra da potência para as integrais, dada por:

$\orange\bigstar \sf \int x {}^{n} dx = \frac{x {}^{n + 1} }{n + 1}$

Aplicando a propriedade:

$\sf - \frac{x {}^{2 + 1} }{2 + 1} - \frac{x {}^{1 + 1} }{1 + 1} + 2. \frac{x {}^{0 + 1} }{0 + 1} \bigg|_ { - 2}^{1}$

Não é necessário acrescentar a constante, pois trata-se de uma integral definida. Aquela expressão x^0 foi gerada através do número 1, já que qualquer número elevado a "0" é 1.

$\sf - \frac{x {}^{3} }{3} - \frac{x {}^{2} }{2} + \frac{2x}{1} \bigg|_ { - 2}^{1} \Longleftrightarrow - \frac{x {}^{3} }{ 3} - \frac{x {}^{2} }{2 } + 2\bigg|_ { - 2}^{1}$

Já finalizamos a integração, agora para finalizar a questão de fato, basta aplicar o Teorema fundamental do cálculo, que diz:

$\sf \int \limits _ { a}^{b}f(x)dx = F(b)-F(a) \Longrightarrow\bigg|_ { a}^{b}$

Aplicando o tal teorema:

$\sf - \frac{1{}^{3} }{3} - \frac{1 {}^{2} }{2} + 2.1 + \frac{( - 2) {}^{3} }{3} + \frac{( - 2) {}^{2} }{2} - 2.( - 2) \Longrightarrow\\ \\\Longleftrightarrow\sf - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 - \frac{8}{3} + 2 + 4\Longrightarrow\: \ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \Longleftrightarrow - \sf\frac{9}{3} - \frac{1}{2} + 8 \Longleftrightarrow - 3 + 8 - \frac{1}{2} \Longleftrightarrow5 - \frac{1}{2} \Longleftrightarrow \boxed{\boxed{ \sf\frac{9}{2} u.a}}$

Espero ter ajudado