Question

Será que alguém
poderia me ajudar mais uma vez com esta questão de matemática.
Determine a equação da circunferência que tem centro na reta de equação x - 2y +9 =0 e que passa pelos pontos P(1,-4) e Q(5,2).

Answer 1

Boa tarde Ferreira!

Seja uma circunferência que passa pelos pontos P(1,-4)  e Q(5,2) e seu centro esta na reta de equação x-2y+9=0

Em primeiro momento o objetivo é encontra o centro da circunferência,mas para isso vamos fazer alguns cálculos de acordo com a interpretação do enunciado.

Primeiro vamos achar o ponto médio  dos pontos P e Q.

Usando essa formula.

$Xm= \frac{xp+xd}{2}$

$Ym= \frac{yp+yd}{2}$

Substituindo os pontos P e Q na formula,entramos também o ponto da mediatriz do
seguimento que une P e Q.

$Xm= \frac{1+5}{2} \Rightarrow Xm=3$

$Ym= \frac{-4+2}{2} \Rightarrow Ym=-1$

$M(Xm,Ym)$

$M(3,-1)$

Agora vamos encontrar o coeficiente angular da reta suporte que une P e Q.

Formula para encontrar o coeficiente angular.

$M1= \frac{YQ-YP}{XQ-XP}$

P(1,-4)

Q(5,2)

$M1= \frac{2+4}{5-1}$

$M1= \frac{6}{4}$

Simplificando fica.

$M1=\frac{3}{2}$

Com esses dados vamos encontra o coeficiente angular da equação mediatriz do seguimento PQ.

Substituido M1 na formula encontramo m2,que é o coeficiente da equação mediadriz do seguimento P  e Q.

$M1=\frac{3}{2}$

$M1= -\frac{1}{m2}$

$\frac{3}{2} = -\frac{1}{m2}$

$3m2=-2$

$m2=- \frac{2}{3}$

Agora vamos usar a formula da equação da reta para determinar a equação da mediatriz.

$y-yM=m2(x-xM)$

$M(3,1)$

$m2=- \frac{2}{3}$

$y+1= -\frac{2}{3} (x-3)$

Organizando a equação da mediatriz fica assim.

$3y+3= (-2x+6)$

$2x+3y+3= 6$

Essa é a equação da mediatriz.

$2x+3y= 3$

Vamos montar um sistema com a equação da mediatriz e a equação dada no problema e encontra as coordenadas do centro da circunferência.

Essa é a equação da mediatriz.

$2x+3y= 3$

Equação dada no problema.

$x-2y=-9$

Montando o sistema.

$2x+3y= 3$
$x-2y=-9$

O sistema pode ser resolvido pelo método da substituição ou da adição.
Vou resolver pelo método da adição oK.

$2x+3y= 3$
$x-2y=-9.(-2)$

$2x+3y= 3$
$-2x+4y=18$

$7y=21$

$y= \frac{21}{7}$

$y=3$

 Vamos substituir o valor de y na equação original.

$2x+3(3)= 3$

$2x+9= 3$

$2x=3-9$

$2x=-6$

$x= \frac{-6}{2}$

$2x=-6$

O centro da circunferência é determinado pelo ponto C(-3,3)

Substituindo o ponto na equação da circunferência,que é dada por.

$(x-a)^{2}+(y-b) ^{2} =r ^{2}$

Substituindo os pontos a=-3 e b=3 fica

$(x+3)^{2}+(y-3) ^{2} =r ^{2}$

A gora vamos encontrar o raio da circunferência.

O raio da circunferência é a distancia do centro da circunferência ate o ponto P ou Q.

Coloque os dois pontos, pois as distancia tem que serem iguais,afinal a distancia de C ate P é o raio e a distancia de C ate Q também é o raio da circunferência,logo  concluímos que d(C,P)=d(C,Q).

Forrmula da distancia.

$r=d(C,P)= \sqrt{(xC-xP) ^{2}+(yC-yP) ^{2} }$

C(-3,3)

P(1,-4)

$r=d(C,P)= \sqrt{(-3-1) ^{2}+(3+4) ^{2} }$

$r=d(C,P)= \sqrt{(-4) ^{2}+(7) ^{2} }$

$r=d(C,P)= \sqrt{(16)+(49)}$

$r=d(C,P)= \sqrt{65}$

$r= \sqrt{65}$

Substituindo o valor do raio final chegamos ao final.

$(x+3)^{2}+(y-3) ^{2} =r ^{2}$

$(x+3)^{2}+(y-3) ^{2} =( \sqrt{65}) ^{2}$

$(x+3)^{2}+(y-3) ^{2} =65$

$\boxed{ Resposta:(x+3)^{2}+(y-3) ^{2}-65 =0 }$

Boa tarde!
Bons estudos!