Question

Será que alguém poderia me ajudar com essa questão sobre área ??

(CAP-UFRJ) A figura abaixo representa um triângulo equilátero ABC de 6 cm de lado. Cada lado está dividido em 3 segmentos congruentes , e por esses pontos traçam-se paralelas aos lados, obtendo-se 9 triângulos. Nessas condições, determine a área da região sombreada .

A resposta é 6√3 cm²

Answer 1

Calculamos a área do triângulo maior (ABC).

Antes, calculemos a sua altura.
h² = 6² + 3²
h² = 36 + 9
h² = 45
h = √45
h = 3√5 cm

A = b·h
        2
A = 6·3√5
          2
A = 18√5
          2
A = 9√5 cm²

O triângulo ABC foi dividido em 9 triângulos menores e iguais, ou seja, de mesma área. Então, dividimos a área do triângulo ABC por 9.
9√5 ÷ 9 = √5 cm²

Cada triângulo menor tem √5 cm².

Como temos 6 desses triângulos sombreados, multiplicamos essa área por 6. Assim, temos:
6 × √5 = 6√5 cm²

Portanto, a região sombreada tem área de 6√5 cm²

Answer 2

Estefânia,

Com cuidado, observe o triângulo ADE na figura EM ANEXO:

1) Como o lado AC e AB está dividido em 3 segmentos congruentes(iguais), os segmentos AE e AD valem 2cm.

2) Como tratamos de um triângulo EQUILÁTERO, todos os ângulos internos valem 60º. Considerando o ângulo $\alpha$ como 60º, observamos que o triângulo ADE também é EQUILÁTERO, pelo seguinte motivo:

AD=AE (Característica de um isósceles[2 lados iguais]), por causa disso, os ângulos dos vértices D e E terão de ser iguais.

como já temos o ângulo A medindo 60º, fazendo uma equação simples sabendo que A SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM TRIÂNGULO É 180º, obtemos:

$\alpha + \beta +\theta=180º$ 

só que $\beta=\theta=x$

$\alpha +2x=180\\ 60+2x=180\\ x=60^{o}$

Provado isto, basta-nos atribuir ao lado DE o mesmo valor de AD e AE, pois ADE é equilátero.

A figura proporcionalmente nos diz que o triângulo ADE é igual a todos os outros hachurados. Isto se prova por semelhança de triângulos: "a razão das áreas será igual ao quadrado da razão da semelhança". Não estender muito, mas se quiser que eu lhe prove posteriormente, eu o faço.

Como sabemos que os triângulos hachurados são iguais, basta-nos calcular 6 vezes a área do triângulo ADE.

Área do triângulo equilátero de lado a:

$S=\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

aplicando em nosso triângulo e multiplicando por 6:
$St=6.\frac{2^2 \sqrt{3}}{4}\\ St=6\sqrt{3}$

Espero ter ajudado,

See Ya!