Question

(Sequências numéricas e progressões)

Considere a sequência numérica

     $(a_n)=(8,\,35,\,80,\,143,\,224,\,323,\,\ldots)$

com n ∈ ℕ*.

Sabendo que o termo geral de aₙ é dado por

     aₙ = (3n − 1)(3n + 1),

escreva uma fórmula geral para o produto os n primeiros termos da sequência aₙ, em função de n.

Obs.: Continuação do conteúdo abordado na tarefa https://brainly.com.br/tarefa/53212375 . ​

Answer 1

Utilizarei "P" para me referir ao produto dos primeiros termos da sequência numérica em questão.

$P_1 = (3 \cdot 1 - 1)(3 \cdot 1 + 1)\\P_1 = 2 \cdot 4\\\\P_2 = (3 \cdot 2 - 1)(3 \cdot 2 + 1) \cdot 2 \cdot 4\\P_2 = 5 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 4\\P_2 = 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 7\\\\P_3 = (3 \cdot 3 - 1)(3 \cdot 3 + 1) \cdot 5 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 4\\P_3 = 8 \cdot 10 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 4\\P_3 = 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 10\\P_3 = \cfrac{10!}{3 \cdot 6 \cdot 9}\\P_3 = \cfrac{10!}{(3 \cdot 1)(3 \cdot 2)(3 \cdot 3)}\\P_3 = \cfrac{10!}{3^3 \cdot 3!}$

Pode se deduzir o seguinte padrão:
$P_n = \cfrac{(3n + 1)!}{3^n \cdot n!}$

Que corresponde precisamente à fórmula geral do produto desta sequência.