Question

(Sequências numéricas e progressões)

Considere a sequência numérica

     $(a_n)=(8,\,35,\,80,\,143,\,224,\,323,\,\ldots)$

com n ∈ ℕ*.

a) Encontre o valor do sétimo termo da sequência.

b) Escreva uma fórmula para o termo geral da sequência aₙ, em função de n.​

Answer 1

a) A diferença entre o primeiro e segundo termos é 27. Entre o segundo e o terceiro é 45 (27 + 18). Entre o terceiro e o quarto é 63 (27 + 2 * 18). Portanto, a diferença entre os termos aumenta em 18. Logo:
$a_7 = a_7 - a_6 + a_6$ (diferença entre $a_7$ e seu anterior, somado ao seu anterior).

$a_7 = a_6 + 27 + 18(7 - 2)\\a_7 = 323+ 27 + 18 \cdot 5\\a_7 = 350 + 90\\a_7 = 440$

b) Segue vários exemplos de termos, para máxima expressividade:

$a_2 = a_1 + 27 + 18(n-2)\\a_2 = 8+ 27\\\\a_3 = a_2 + 27 + 18(n-2)\\a_3 = (8 + 27) + 27 + 18\\a_3 = 8 + 2 \cdot 27 + 1 \cdot 18\\\\a_4 = a_3 + 27 + 18(n-2)\\a_4 = (8 + 2 \cdot 27 + 1 \cdot 18) + 27 + 2 \cdot 18\\a_4 = 8 + 3 \cdot 27 + (2 + 1) \cdot 18\\\\a_5 = (8 + 3 \cdot 27 + (2 + 1) \cdot 18) + 27 + 3 \cdot 18\\a_5 = 8 + 4 \cdot 27 + (3+2 + 1) \cdot 18\\\\a_n = 8 + 27(n-1) + 18(1 + 2 + ... + (n-3) + (n-2))\\\\a_n = 8 + 27(n-1) + 1 \cdot 18 + 2 \cdot 18 + ... + (n-3) \cdot 18 + (n-2) \cdot 18$

É possível ver uma PA de razão 18, iniciada em 18 e terminada em $(n-2)$, com $(n-2)$ termos. Então, a soma dos termos desta PA pode ser simplificada:

$S_{n,2} = \cfrac{(n-2)(18 + 18(n-2))}{2} \\\\\\ S_{n,2} = \cfrac{(n-2)(18 + 18n - 36)}{2} \\\\\\ S_{n,2} = \cfrac{(n-2)(18n - 18)}{2} \\\\\\S_{n,2} = \cfrac{(n-2) \cdot 18(n-1)}{2}\\\\\\S_{n,2} = 9(n-2)(n-1)$

Colocando-o na fórmula para o termo geral:
$a_n = 8 + 27(n-1) + 9(n-2)(n-1)\\a_n = 8 + 3(n-1)(9 + 3(n-2))\\a_n = 8 + 3(n-1)(9 + 3n -6)\\a_n = 8 + 3(n-1)(3n + 3)\\a_n = 8 + 3(n - 1) \cdot 3(n+1)\\a_n = 8 + 9(n + 1)(n-1)\\a_n = 8 + 9(n^2 - 1)\\a_n = 8 + 9n^2 - 9\\a_n = 9n^2 - 1$