Question

(Sequência)

Considere a sequência (xₙ), com xₙ > 0 para todo n > 0, definida por.

x₁ = √2

xₙ = √(2xₙ₋₁)

Prove que (xₙ) é crescente, limitada, e que seu limite é 2.

____________

Por favor responder de forma detalhada.

Answer 1

É dada a sequência $(x_n)$, cuja lei de formação é:

$x_1=\sqrt{2}\\\\\ x_n=\sqrt{2x_{n-1}}$

Vamos tentar encontrar por inspeção uma fórmula geral para os termos da sequência que seja dependente apenas de n:

$x_1=\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}\\\\ x_2=\sqrt{2x_1}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{x_1}=2^{\frac{1}{2}}\cdot2^{\frac{1}{2^2}}\\\\ x_3=\sqrt{2x_2}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{x_2}=2^{\frac{1}{2}}\cdot2^{\frac{1}{2^2}}\cdot 2^{\frac{1}{2^3}}}\\\\ \cdots\\\\ x_n=2^{\frac{1}{2}}\cdot2^{\frac{1}{2^2}}\cdot 2^{\frac{1}{2^3}}}\cdot...\cdot2^{\frac{1}{2^n}}=2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^n}}$

O expoente de 2 na última igualdade equivale à soma dos n termos de uma PG de razão 1/2:

$\Large\begin{array}{l}x_n=2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^n}}=2^{\frac{1}{2}\cdot\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^n-1}{\left(\frac{1}{2}\right)-1}}\end{array}\\\\ \Large\begin{array}{l}x_n=2^{\frac{1}{2}\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}{1-\left(\frac{1}{2}\right)}}=2^{\frac{1}{2}\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}{\frac{1}{2}}}\end{array}\\\\ \Large\begin{array}{l}x_n=2^{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}\end{array}$

--------------------------------------------------------------------

Podemos mostrar a fórmula obtida anteriormente por meio do Princípio da Indução Finita:

- Para $n=1$:

$x_1=2^{1-\left(\frac{1}{2}\right)^1}=2^{1-\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}}\Longrightarrow x_1=\sqrt{2}$

- Supondo a fórmula válida para algum n = k, vamos tentar provar que ela também é verdadeira para n = k+1:

$x_k=2^{1-\left(\frac{1}{2}\right)^k}~~~(H.I.)\\\\\\ x_{k+1}=\sqrt{2x_k}=2^{\frac{1}{2}}\cdot x_k^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}}\cdot (2^{1-\left(\frac{1}{2}\right)^k})^{\frac{1}{2}}\\\\ x_{k+1}=2^{\frac{1}{2}}\cdot 2^{\frac{1}{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{k+1}}=2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{k+1}}\\\\ x_{k+1}=2^{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{k+1}}$

Que é exatamente a fórmula que havíamos estabelecido, concluindo a indução.

----------------------------------------------------------------------

Para mostrarmos que a função é crescente, basta verificarmos se $\dfrac{x_{n+1}}{x_n}>1$, já que $x_1>0$. Realizando esse procedimento:

$\dfrac{x_{n+1}}{x_n}=\dfrac{2^{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}}{2^{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}}=2^{\left[1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}\right]-\left[1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right]}=2^{\left(\frac{1}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}\\\\ \dfrac{x_{n+1}}{x_n}=2^{\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\left(1-\frac{1}{2}\right)}=2^{\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\cdot\frac{1}{2}}\\\\ \dfrac{x_{n+1}}{x_n}=2^{\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}$

Como $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}>0$ para $n\in\mathbb{N}$, temos que $2^{\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}>1$. Então, $\dfrac{x_{n+1}}{x_n}\ \textgreater \ 1$. Logo, a sequência é crescente.

Vamos calcular o limite da sequência quando $n\to\infty$:

$\lim\limits_{n\to\infty} x_n=\lim\limits_{n\to\infty} 2^{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}\\\\ \lim\limits_{n\to\infty} x_n=2^{1-0}=2^1\\\\ \lim\limits_{n\to\infty} x_n=2$

Portanto, a sequência é limitada e seu limite é igual a 2.   $~~~\blacksquare$