Question

Senx/cossecx + cosx/secx= tgx.cotgx

Answer 1

Olá

Antes de provarmos essa identidade trigonométricas, temos que saber as seguintes identidades fundamentais

$\boxed{sen^2x+cos^2x=1} \\ \\ ~~~~ ~~~~~~ ~~ \text{e}~\\\\\boxed{tgx\cdot cotg x=1}$


$\displaystyle \frac{senx}{cscx} + \frac{cosx}{secx} =tgx\cdot cotg x \\ \\ \\ \text{Podemos reescrever 'cscx' como}~ \frac{1}{senx} \\ \\ \text{e 'secx' como } \frac{1}{cosx} \\ \\ \text{Reescrevendo...} \\ \\ \\ \displaystyle \frac{senx}{ \frac{1}{senx} } + \frac{cosx}{ \frac{1}{cosx} } =tgx\cdot cotg x \\ \\ \\ \text{divisoes de fracoes, entao multiplica a primeira pelo inverso da}\\\text{da segunda} \\ \\ \\ senx\cdot senx+cosx\cdot cosx=tgx\cdot cotgx \\ \\ sen^2x+cos^2x=tgx\cdot cotgx$

$\text{Como vimos no inicio, ambas as identidades sao iguais a 1, entao}\\\text{se substituirmos o seus valores veremos que} \\ \\ sen^2x+cos^2x=1 \\ tgx\cdot cotg x=1 \\ \\ sen^2x+cos^2x=tgx\cdot cotgx\\\\ \boxed{1=1} \\ \\ \\ \text{como se queria demonstrar.}$