Question

Sendo z1 = 4+3i e z2 = -3+2i, calcule:

Z1+Z2

Z1-Z2

Z1xZ2

Z1_Z2

Answer 1

a) A soma de números complexos é feita somando-se parte Real com parte Real e Parte Imaginaria com parte Imaginaria, logo:

$Z_1+Z_2~=~(4+3i)~+~(-3+2i)\\\\\\Z_1+Z_2~=~(4-3)~+~(3i+2i)\\\\\\\boxed{Z_1+Z_2~=~1+5i}$

b) A subtração, semelhante a adição, é feita subtraindo-se parte Real com parte Real e Parte Imaginaria com parte Imaginaria, logo:

$Z_1+Z_2~=~(4+3i)~-~(-3+2i)\\\\\\Z_1+Z_2~=~(4-(-3))~+~(3i-2i)\\\\\\\boxed{Z_1+Z_2~=~7+i}$

c) Para a multiplicação, vamos utilizar a propriedade distributiva da multiplicação com posterior simplificação e organização dos fatores.

Lembrar: i² = -1

$Z_1~.~Z_2~=~(4+3i)~.~(-3+2i)\\\\\\Z_1~.~Z_2~=~4~.~(-3)~+~4~.~2i~+~3i~.~(-3)~+~3i~.~2i\\\\\\Z_1~.~Z_2~=~-12~+~8i~-~9i~+~6i^2\\\\\\Z_1~.~Z_2~=~-12~-~i~+~6\,.\,(-1)\\\\\\Z_1~.~Z_2~=~-12~-~i~-~6\\\\\\\boxed{Z_1~.~Z_2~=~-18~-~i}$

d) Na divisão faremos algo semelhante `a racionalização de frações, vamos multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do divisor, no caso Z2.

$\dfrac{Z_1}{Z_2}~=~\dfrac{Z_1}{Z_2}~.~\dfrac{\overline{Z_2}}{\overline{Z_2}}\\\\\\\\\dfrac{Z_1}{Z_2}~=~\dfrac{4+3i}{-3+2i}~.~\dfrac{\overline{-3+2i}}{\overline{-3+2i}}\\\\\\\\\dfrac{Z_1}{Z_2}~=~\dfrac{4+3i}{-3+2i}~.~\dfrac{-3-2i}{-3-2i}$

$\dfrac{Z_1}{Z_2}~=~\dfrac{4~.~(-3)~+~4~.~(-2i)~+~3i~.~(-3)~+~3i~.~(-2i)}{(-3)~.~(-3)~+~(-3)~.~(-2i)~+~2i~.~(-3)~+~2i~.~(-2i)}\\\\\\\\\dfrac{Z_1}{Z_2}~=~\dfrac{-12~-~8i~-~9i~-~6i^2}{9~+~6i~-~6i~-~4i^2}\\\\\\\\\dfrac{Z_1}{Z_2}~=~\dfrac{-12~-~17i~-~6\,.\,(-1)}{9~-~4\,.\,(-1)}$

$\dfrac{Z_1}{Z_2}~=~\dfrac{-6~-~17i}{9~+~4}\\\\\\\\\dfrac{Z_1}{Z_2}~=~\dfrac{-6~-~17i}{13}\\\\\\\\\boxed{\dfrac{Z_1}{Z_2}~=~-\dfrac{6}{13}~-~i\,\dfrac{17}{13}}$