Question

Sendo Z1 = 2. (cos ¼ π + i. sen ¼ π) e Z2 = 3. (cos ½ π + i. sen ½ π),
calcule:

a) Z1 . Z2
b) Z1/ Z2

Answer 1

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⠀⠀☞ Após termos simplificado cada um dos números complexos Z1 e Z2 pudemos mais facilmente identificar que: a) Z1 × Z2 = √2 × (-3 + 3i); b) Z1 ÷ Z2 = √2/3 × (1 - i).✅  

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⚡ " -O que é i?"  

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⠀⠀"i" na álgebra representa o número resultante da raiz quadrada de -1, ou seja, é um número que não está definido no conjunto dos Reais. Temos que:  

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$\blue{\Large\sf~~\begin{cases}\sf~i = \sqrt{-1} \\\\ \sf~i^2 = (\sqrt{-1})^2 = -1 \end{cases}}$

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⚡ " -Quanto vale sen(π/4), cos(π/4), sen(π/2) e cos(π/2)?"  

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$\blue{\Large\sf~~\begin{cases}\sf~sen(\pi /2) = sen(90) = 1\\\\ \sf~cos(\pi /2) = cos(90) = 0\\\\\text{ \sf~sen(\pi /4) = sen(45) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} }\\\\\text{ \sf~cos(\pi /4) = cos(45) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} }\end{cases}}$

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⠀⠀Ou seja, nossos números complexos Z1 e Z2 simplificados são:

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$\blue{\sf~~\begin{cases}\text{ \sf~Z1 = 2 \cdot (\dfrac{\sqrt{2}}{2} + i \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}) = \boxed{\sf ~\sqrt{2} \cdot (1 + i)~} }\\\\ \sf~Z2 = 3 \cdot (0 + i \cdot 1) = \boxed{\sf ~3i~}\end{cases}}$

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a) Z1 . Z2

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$\LARGE\blue{\sf Z1 \cdot Z2 = \sqrt{2} \cdot (1 + i) \cdot (3i)}$

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$\LARGE\blue{\sf = \sqrt{2} \cdot (3i + 3i^2)}$

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$\LARGE\blue{\sf = \sqrt{2} \cdot (3i - 3)}$

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$\Large\green{\boxed{\rm~~~\gray{Z1 \cdot Z2}~\pink{=}~\blue{ \sqrt{2} \cdot (-3 + 3i) }~~~}}$ ✅

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b) Z1/ Z2

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$\Large\blue{\sf Z1 \div Z2 = \sqrt{2} \cdot (1 + i) \div (3i)}$

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$\LARGE\blue{\text{ \sf = \dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{2}i}{3i} }}$

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$\LARGE\blue{\text{ \sf = \dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{2}i}{3i} \cdot \dfrac{3i}{3i} }}$

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$\LARGE\blue{\text{ \sf = \dfrac{-\sqrt{2} - \sqrt{2}i}{9} \cdot 3i }}$

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$\LARGE\blue{\text{ \sf = \dfrac{-3\sqrt{2}i - 3\sqrt{2}i^2}{9} }}$

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$\LARGE\blue{\text{ \sf = \dfrac{-3\sqrt{2}i + 3\sqrt{2}}{9} }}$

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$\LARGE\blue{\text{ \sf = \dfrac{\sqrt{2} - \sqrt{2}i}{3} }}$

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$\Large\green{\boxed{\rm~~~\gray{Z1 \div Z2}~\pink{=}~\blue{ \dfrac{\sqrt{2} - \sqrt{2}i}{3}}~~~}}$ ✅  

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$  

⠀⠀☀️ Veja outra divisão de números complexos  

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✈ https://brainly.com.br/tarefa/36921125

$\bf\large\red{\underline{\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍  

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$\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁  

⠀⠀⠀⠀☕ $\Large\blue{\text{\bf Bons~estudos.}}$  

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($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄  

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍  

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$\Huge\green{\text{ \underline{\red{\mathbb{S}}\blue{\mathfrak{oli}}~}~\underline{\red{\mathbb{D}}\blue{\mathfrak{eo}}~}~\underline{\red{\mathbb{G}}\blue{\mathfrak{loria}}~} }}$ ✞  

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