Question

Sendo z1 = 1 + i e z2 = i, a forma trigonométrica de z1/z2 é:

Answer 1

Resposta:

$z = \sqrt{2} [ \cos( \frac{7\pi}{4} ) + i \sin( \frac{7\pi}{4} ) ]$

Explicação passo-a-passo:

Vamos chamar Z1 de w e Z2 de Z.

Assim:

$w = 1 + i \\ z = i$

Ele quer saber o valor da seguinte expressão :

$\frac{w}{z}$

$\frac{1 + i}{i} = \frac{(1 + i) \times i}{i \times i}$

$\frac{1 \times i + i \times i}{ {i}^{2} }$

$\frac{i + {i}^{2} }{ {i}^{2} }$

$\frac{i - 1}{ - 1}$

$\frac{ (- 1) \times (i - 1)}{1}$

$( - 1) \times i + ( - 1) \times ( - 1) = \\ - i + 1 \\ 1 - i$

Portanto :

$\frac{w}{z} = 1 - i$

Agora precisamos achar o módulo:

$|z| = \sqrt{ {a}^{2} + {b}^{2} }$

$|z| = \sqrt{ {1}^{2} + ( - 1)^{2} }$

$|z | = \sqrt{1 + 1} \\ |z| = \sqrt{2}$

Agora para saber a forma trigonométrica precisamos saber o seno e o cosseno do argumento do número :

$\cos( \gamma ) = \frac{a}{ |z| } \\ \sin( \gamma ) = \frac{b}{ |z| }$

Utilizando a relação acima, basta aplicar os valores do Z.

Assim:

Se Z é um número complexo na forma Z=a+bi

Onde os valores de a e b são:

1 e - 1 respectivamente, temos :

Z=1-i e na relação de seno e cosseno temos:

$\cos( \gamma ) = \frac{1}{ \sqrt{2} } = \frac{1}{ \sqrt{2} } \times \ \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{2} } = \\ \frac{ \sqrt{2} }{ { \sqrt{2} }^{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{2}$

$\sin( \gamma ) = \frac{ - 1}{ \sqrt{2} } = - \frac {1}{ \sqrt{2} } = - \frac{ \sqrt{2} }{2}$

Portanto:

$\cos( \gamma ) = \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \sin( \gamma ) = - \frac{ \sqrt{2} }{2}$

O ângulo no ciclo trigonométrico cujo seno é dado o valor acima e cosseno também é o de

$\frac{7\pi}{4}$

Que é múltiplo de 45 ° que é

$\frac{\pi}{4}$

Então aplicando ele na forma trigonométrica :

$z = |z| ( \cos( \gamma ) + i \sin( \gamma ) ) \\ z = \sqrt{2} ( \cos( \frac{7\pi}{4} ) + isin( \frac{7\pi}{4} ) )$