Question

Sendo z um angulo agudo tal que cos z = 3 sen z, calcula os valores exatos de tg z, sen z e cos z

Answer 1

Caso tenha problemas para visualizar a resposta pelo aplicativo, experimente abrir pelo navegador:  https://brainly.com.br/tarefa/4200285

_______________


$\mathsf{cos\,z=3\,sen\,z\qquad\quad(i)}$


Elevando os dois lados ao quadrado, temos

$\mathsf{(cos\,z)^2=(3\,sen\,z)^2}\\\\ \mathsf{cos^2\,z=9\,sen^2\,z}\qquad\quad\textsf{(mas }\mathsf{cos^2\,z=1-sen^2\,z}\textsf{)}\\\\ \mathsf{1-sen^2\,z=9\,sen^2\,z}\\\\ \mathsf{1=9\,sen^2\,z+sen^2\,z}$

$\mathsf{1=10\,sen^2\,z}\\\\ \mathsf{sen^2\,z=\dfrac{1}{10}}\\\\\\ \mathsf{sen\,z=\pm\,\sqrt{\dfrac{1}{10}}}\\\\\\ \mathsf{sen\,z=\pm\,\dfrac{1}{\sqrt{10}}}$


Como $\mathsf{z}$ é um ângulo agudo, isto é, $\mathsf{0^\circ<z<90^\circ,}$ então o seno é positivo. Portanto,

$\boxed{\begin{array}{c}\mathsf{sen\,z=\dfrac{1}{\sqrt{10}}} \end{array}}\qquad\quad\checkmark$

________


•   Encontrando o cosseno:

Pela equação $\mathsf{(i)},$ devemos ter

$\mathsf{cos\,z=3\,sen\,z}\\\\ \mathsf{cos\,z=3\cdot \dfrac{1}{\sqrt{10}}}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{cos\,z=\dfrac{3}{\sqrt{10}}} \end{array}}\qquad\quad\checkmark$

________


•   Encontrando a tangente:

$\mathsf{tg\,z=\dfrac{sen\,z}{cos\,z}}\\\\\\ \mathsf{tg\,z=\dfrac{~\frac{1}{\sqrt{10}}~}{\frac{3}{\sqrt{10}}}}\\\\\\ \mathsf{tg\,z=\dfrac{1}{\sqrt{\,\diagup\!\!\!\!\!\! 10}}\cdot \dfrac{\sqrt{\,\diagup\!\!\!\!\!\! 10}}{3}}\\\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{tg\,z=\dfrac{1}{3}} \end{array}}\qquad\checkmark$


Bons estudos! :-)


Tags:   relação trigonométrica fundamental triângulo retângulo ângulo seno sen sin cosseno cos tangente tan tg trigonometria geometria