Question

SENDO z=h(x,y)=x-y^2 , x=f(s,t)=s^2+2t e y= g(s,t)=2s+t ,a derivada parcial dz/ds é:

Answer 1

$\frac{dz}{ds} = \frac{dz}{dx} \frac{dx}{ds}+ \frac{dz}{dy} \frac{dy}{ds}$

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$\\ \frac{dz}{dx} = \frac{d(x+y^2)}{dx} = \\ \\ \frac{dz}{dx} = 1+0 \\ \\ \frac{dz}{dx} = 1$
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$\\ \frac{dx}{ds} = \frac{(s^2+2t)}{ds} \\ \\ \frac{dx}{ds} = 2s+0 \\ \\ \frac{dx}{ds} = 2s$
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$\\ \frac{dz}{dy} = \frac{d(X-Y^2)}{dy} = \\ \\ \frac{dz}{dy} = 0-2Y \\ \\ \frac{dz}{dy} = -2y$

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$\\ \frac{dy}{ds} = \frac{d(2s+t)}{ds} \\ \\ \frac{dy}{ds} = 2+0 \\ \\ \frac{dy}{ds} = 2$
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Temos que substituir na expressão interior:

$\\ \frac{dz}{ds} = \frac{dz}{dx} \frac{dx}{ds} + \frac{dz}{dy} \frac{dy}{ds} \\ \\ \frac{dz}{ds} = 1*2s+(-2y)*2 \\ \\ \frac{dz}{ds} = 2s-4y$

mas como a derivada está em relação a s" temos que eliminar o y" da expressão.

temos que:

Y = 2s + t

Como t" não foi derivado em relação a ele, ele comportara como constante. Logo substituiremos Y = 2s + t 


$\\ \frac{dz}{ds} = 2s-4y \\ \\ \frac{dz}{ds} = 2s-4(2s+t) \\ \\ \frac{dz}{ds} = 2s-8s-4t \\ \\ \frac{dz}{ds} = -6s-4t \\ \\ \frac{dz}{ds} = -2(3s+2t)$