Question

Sendo z=4(cos(150o)+i⋅sen(150o)), determine z4

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre números complexos.

Seja um número complexo em sua forma trigonométrica: $z=|z|\cdot(\cos(\theta)+i\cdot\sin(\theta))$.

De acordo com a Primeira Fórmula de De Moivre para a potenciação de números complexos: $z^n=|z|^n\cdot(\cos(n\cdot \theta)+i\cdot\sin(n\cdot\theta))$

Assim, sendo $z=4\cdot(\cos(150^{\circ})+i\cdot\sin(150^{\circ}))$, devemos determinar o valor de $z^4$.

Aplicando a Fórmula de De Moivre, temos:

$z^4=4^4\cdot(\cos(4\cdot150^{\circ})+i\cdot\sin(4\cdot150^{\circ}))$

Calcule a potência e multiplique os valores

$z^4=256\cdot(\cos(600^{\circ})+i\cdot\sin(600^{\circ}))$

Podemos encontrar a forma algébrica do número complexo. Calculamos a primeira determinação positiva do arco, subtraindo $360^{\circ}$ no argumento das funções cosseno e seno:

$z^4=256\cdot(\cos(240^{\circ})+i\cdot\sin(240^{\circ}))$

Sabendo que $\cos(240^{\circ})=-\dfrac{1}{2}$ e $\sin(240^{\circ})=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, temos:

$z^4=256\cdot\left(-\dfrac{1}{2}+i\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\right)$

Multiplique os termos

$z^4=256\cdot\left(-\dfrac{1}{2}-\dfrac{i\cdot\sqrt{3}}{2}\right)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e simplifique as frações

$z^4=256\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)+256\cdot\left(-\dfrac{i\cdot\sqrt{3}}{2}\right)\\\\\\ z^4=-128-128i\sqrt{3}$

Este é o resultado que buscávamos.