Question

Sendo Z=2x^2-2y^2+8 a superfície que toca um plano no ponto P(2,2,8) , a equação do plano tangente é dada por:
a. -3x^2 + 2y + z - 5 = 0
b. -4x +6y -z - 3 = 0
c. 8x - 8y - 8z + 64 = 0
d. -3x + 2y + z - 5 = 0
e. -6x + 6y +z - 5 = 0

Answer 1

Dada uma função $z=f(x,\,y)$ diferenciável em um ponto $A(x_0,\,y_0),$ podemos encontrar a equação do plano $\pi,$ tangente ao gráfico de $f$ em $A:$

$\boxed{\begin{array}{c}\pi:~z-f(x_0,\,y_0)=\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,\,y_0)\cdot (x-x_0)+\dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0,\,y_0)\cdot (y-y_0) \end{array}}$

__________

A função em questão é

$f(x,\,y)=2x^2-2y^2+8$

que é uma função polinomial a duas variáveis, e logo é diferenciável em todo o $\mathbb{R}^2.$


Vamos calcular as derivadas parciais de $f:$

•    $\dfrac{\partial f}{\partial x}:$

$=\dfrac{\partial}{\partial x}(2x^2-2y^2+8)\\\\\\ =4x$


Avaliando no ponto $A(2,\,2),$

$\dfrac{\partial f}{\partial x}(2,\,2)=4\cdot 2=8$


•    $\dfrac{\partial f}{\partial y}:$

$=\dfrac{\partial}{\partial y}(2x^2-2y^2+8)\\\\\\ =-4y$


Avaliando no ponto $A(2,\,2),$

$\dfrac{\partial f}{\partial y}(2,\,2)=-4\cdot 2=-8$

___________

Equação do plano tangente no ponto $\big(2,\,2,\,f(2,\,2)\big):$

$\pi:~z-f(2,\,2)=\dfrac{\partial f}{\partial x}(2,\,2)\cdot (x-2)+\dfrac{\partial f}{\partial y}(2,\,2)\cdot (y-2)\\\\\\ \pi:~z-8=8\cdot (x-2)+(-8)\cdot (y-2)\\\\\\ \pi:~z-8=8x-16-8y+16\\\\\\ \pi:~z-8=8x-8y\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\pi:~8x-8y-z+8=0 \end{array}}$


Nenhuma das alternativas está correta.


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Bons estudos! :-)