Question

sendo z = 2. (cos π 3 + i. sen π 3 ), calcule a forma algébrica do complexo z 12 .

Answer 1

Com o estudo sobre potenciação de números complexos encontramos como resultado 4096

Forma trigonométrica de um número complexo

Quando associamos um número complexo a um ponto no plano, esse número é expresso por coordenadas cartesianos (a e b), mas também é possível associar um número complexo a um vetor com origem (0,0), cujas coordenadas são polares. Para expressar suas coordenadas polares é preciso conhecer o valor do argumento $\theta$ e do módulo $\rho$.

Podemos observar, na imagem em anexo, o ponto P(a,b) representa geometricamente o número complexo z = a + bi em sua forma algébrica. Porém, dessa ilustração, podemos extrair mais informações

• $sen\left(\theta \right)=\frac{b}{\rho \:}\rightarrow b=\rho \:\cdot sen\left(\theta \right)\\\\cos\left(\theta \right)=\frac{a}{\rho \:}\rightarrow a=\rho \:\cdot cos\left(\theta \right)$

Substituindo esses resultados na forma algébrica de z, temos

• $z=a+bi=\rho \cdot cos\left(\theta \right)+\left(\rho \cdot sen\left(\theta \right)\right)$

Ou, seja. $z=\rho \left(cos\left(\theta \right)+i\cdot sen\left(\theta \right)\right)$

Potenciação

Considera um número complexo z, não-nulo, em sua forma trigonométrica. Como o conjunto dos números complexos é uma ampliação do conjunto dos números reais, então suas operações devem ser definidas da mesma maneira. Dessa forma, deve-se proceder à potenciação em $\mathbb{C}$ como procedemos em $\mathbb{R}$. Desejamos obter $z^n=\left[\rho \cdot \left(cos\left(\theta \right)+i\cdot sen\left(\theta \right)\right)\right]^n$, com n > 1 e n ∈ IN utilizando a multiplicação de complexos apresentada anteriormente.

• $z^n=z\cdot z\cdot z\cdot _{....}\cdot z=\rho \left(cos\theta +i\cdot sen\theta \right)\cdot \rho \:\left(cos\theta \:+i\cdot \:sen\theta \:\right)\cdot ...\cdot \rho \:\left(cos\theta \:+i\cdot \:sen\theta \:\right)\cdot \rho \:\left(cos\theta \:+i\cdot \:sen\theta \:\right)=\rho \cdot \rho \cdot \rho ....\cdot \rho \left[cos\left(\theta +\theta +....+\theta \right)+i\cdot sen\left(\theta +\theta +...\theta \right)\right]$

Assim, concluímos que $z^n=\rho ^n\left(cos\left(n\theta +i\cdot sen\left(n\theta \right)\right)\right)$, também chamada de 1ª fórmula de De Moivre.

Com isso podemos resolver o exercício. Pela 1ª fórmula de De Moivre, temos

• $z^{12}=2^{12}\left(cos\left(36\pi \right)+i\cdot sen\left(36\pi \right)\right)$

• $z^{12}=2^{12}\left(cos\left(36\pi \:\right)+i\cdot \:sen\left(36\pi \:\right)\right)\Rightarrow z^{12}=4096\left(1+i\cdot 0\right)\Rightarrow z^{12}=4096$

Saiba mais sobre números complexos:https://brainly.com.br/tarefa/22693420

#SPJ11