Question

Sendo z=1+i,onde i é a unidade imaginaria,determine  z8.

Answer 1

$z=(1+i)\\z^{8}=(1+i)^{8}\\z^{8}=[(1+i)^{2}]^{4}$

Desmembrando (1 + i)²:

$(1+i)^{2}=1^{2}+2*1*i+i^{2}\\(1+i)^{2}=1+2i+(-1)\\(1+i)^{2}=2i$

$z^{8}=[(1+i)^{2}]^{4}\\z^{8}=[2i]^{4}\\z^{8}=2^{4}i^{4}\\z^{8}=16(i^{2})^{2}\\z^{8}=16(-1)^{2}\\z^{8}=16$

Answer 2

O valor do número imaginário z elevado a oitava potência é 16.

Como z é um monômio com dois termos, vamos utilizar a propriedade da potenciação (potencia de potencias) para simplificar o cálculo:

z⁸ = (1 + i)⁸

z⁸ = [(1 + i)²]⁴

Calculando o produto (a+b)² = a² + 2ab + b², sabendo que i = √-1, temos:

(1 + i)² = 1² + 2.1.i + i²

(1 + i)² = 1 + 2i + (√-1)²

(1 + i)² = 2i

Substituindo o valor encontrado na fórmula e aplicando outra propriedade da potenciação:

z⁸ = [2i]⁴

z⁸ = 2⁴.i⁴

z⁸ = 16.(√-1)⁴

z⁸ = 16

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