Question

Sendo y=f(x) a solução de uma equação diferencial y'=7y. Conhecido f(6)=6, qual valor de "n" teremos f(15)=3e^n ? Alternativas: a)94 b)44 d)41 d)63 147

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{d)~n=63}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Esta é uma equação diferencial linear homogênea de primeira ordem. Para resolvê-la, devemos relembrar algumas propriedades.

Seja a equação diferencial e o problema de valor inicial:

$y'=7y,~y(6)=6$

Subtraia $7y$ em ambos os lados da equação

$y'-7y=0$

Então, utilizamos o Fator integrante.

Dada uma equação diferencial da forma $y'+p(x)\cdot y=0$, seu fator integrante é igual a $e^{\int p(x)\,dx}$.

Substituindo $p(x)=-7$, temos

$e^{\int -7\,dx}$

Calculando esta integral, sabendo que $\displaystyle{\int 1\,dx=\int x^0\,dx=x$, temos

$e^{-7x+C_1}$

Então, multiplique ambos os lados da equação diferencial pelo fator integrante

$e^{-7x+C_1}\cdot y'-7\cdot e^{-7x+C_1}\cdot y=0$

Observe que esta equação pode ser reescrita, visto que este é o resultado da aplicação da regra da cadeia em $(e^{-7x+C_1}\cdot y)'$

Dessa forma, teremos

$(e^{-7x+C_1}\cdot y)'=0$

Reescrevendo a derivada como $\dfrac{d(e^{-7x+C_1}\cdot y)}{dx}$, vemos que

$d(e^{-7x+C_1}\cdot y)=0\cdot dx$

Integre ambos os lados da equação

$\displaystyle{\int d(e^{-7x+C_1}\cdot y)=\int0\cdot dx$

Sabendo que de acordo com o Teorema fundamental do Cálculo, $\displaystyle{\int \dfrac{d(f(x))}{dx}\,dx=f(x)$, resolvemos a integral do lado esquerdo. Na integral do lado direito, aplique a regra da potência e adicione a constante de integração:

$e^{-7x+C_1}\cdot y=0+C_2$

Dividindo ambos os lados da equação por $e^{-7x}$, temos

$y=\dfrac{C_2}{e^{-7x+C_1}}$

Conhecendo as propriedades de potência de expoente negativo, facilmente chegamos ao resultado

$y=C_1\cdot e^{7x-C_1}$

Então, utilize o valor inicial dado:

$6=C_2\cdot e^{7\cdot 6 - C_1}$

Multiplique os valores

$6=C_2\cdot e^{42 - C_1}$

Visto que o resultado do lado esquerdo é uma constante, a única situação que isto se torna verdadeiro para soluções elementais é quando a função exponencial é igual a 1. Dessa forma, igualamos o expoente a zero:

$42-C_1=0$

Isole $C_1$

$C_1=42$

Logicamente, teremos que:

$C_2=6$

Logo, a solução para nossa equação diferencial é:

$\boxed{\bold{y=6\cdot e^{7x-42}}}$

Então, nos é pedido o valor de $n$ tal que $f(15)=3\cdot e^n$.

Substituindo estes dados na solução, teremos

$3\cdot e^n=6\cdot e^{7\cdot 15-42}$

Multiplique e some os valores

$3\cdot e^n=6\cdot e^{105-42}\\\\\\ 3\cdot e^n=6\cdot e^{63}$

Dividindo ambos os lados por $6e^n$, temos

$\dfrac{3}{6}=\dfrac{e^{63}}{e^n}$

Simplificando a fração e aplicando a propriedade de divisão de potências de mesma base, temos

$\dfrac{1}{2}=e^{63-n}$

Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados da equação

$\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)=\ln(e^{63-n})$

Sabendo que $\ln(e^x)=x$, temos

$\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)=63-n$

Aplicando a propriedade de logaritmos, facilmente vemos que

$-\ln(2)=63-n$

Isolando $n$, temos que

$n=63-\ln(2)$

Esta seria a solução para o valor de $n$ que satisfaz estas condições.

Provavelmente, o erro da questão encontra-se na constante que multiplica $f(15)=3\cdot e^n$. Assim, o resultado da equação exponencial é uma fração e a solução para o expoente não é um número inteiro.

Então, levando isto em consideração, a resposta correta será a letra d).

Answer 2

Resposta:

dy/dx=7y   ==> (1/y) dy = 7 dx  

∫ (1/y) dy = ∫ 7 dx  

ln|y| =7x +c        *** pela condição de existência do log y>0

ln y =7x+c  

y =e^(7x+c)  

y=e^(7x) * e^c         ==>fazendo c'=e^c  

y = c' * e^(7x)

f(x) =   c' * e^(7x)

Sabemos que f(6)=6  

6 =c' * e^(7*x)   ==>  c'=6/e^(42)  

f(x) =[6/e^(42) ] * e^(7x)

Sabemos que f(15)=3*e^(n)

3*e^(n) = [6/e^(42) ] * e^(105)

e^(n) = 2 * e^(105-42)

e^(n) = 2 * e^(63)

ln e^(n) =  ln (2 * e^(63))

ln e^(n) =  ln (2)+ lon e^(63))

n = ln 2 + 63 é a resposta