Question

Sendo y = a^x
Qual a derivada de ln y = ln a^x ?
*sem dividir as equações por ln

Answer 1

Vamos relembrar algumas derivadas.

Derivada da exponencial :

$[y]' = [a^u] '$ (a > 0, a≠1. Sendo "u" uma função.)

$y' = a^u Ln(a).u'$

Derivada do logaritimo natural

$y = Ln(u)$ ( sendo "u" uma função )

$y' = [Ln(u)]'$

$y' = \frac{u'}{u}$

Específico para nossa questão :

$[y] ' = [Ln(a^{u})] '$ (a > 0, a≠1. Sendo "u" uma função.)

$y' = \frac{1}{a^{u} }.(a^{u})'$

$y'= \frac{1}{a^u} . a^u. Ln(a).u'$

Sabendo disso, vamos para nossa função.

$Ln(y) = Ln(a^x)$

$[Ln(y)]' = [Ln(a^x)]'$

$\frac{y'}{y} = \frac{(a^x)'}{a^x}$

$\frac{y'}{y} = \frac{a^x.Ln(a).1}{a^x}$

$\frac{y'}{y} = Ln(a)$

(pronto, essa é a derivada. Nós a chamamos de derivada implícita )

Se quiser isolar o y.

$y = \frac{y'}{Ln(a)}$