Question

Sendo x2 + y2 = 20 ex.y = 8, o valor de
(x + y)?
é?
a) 24
b) 36
c) 28
d) 0
e) 12​

Answer 1

Resposta:

Alternativa b) 36.

Explicação passo-a-passo:

Temos o seguinte sistema:

$\displaystyle\mathsf{\left \{ {x^2 + y^2 = 20} \atop {xy = 8.}} \right. }$

Para resolvê-lo vamos deixar a primeira equação apenas em função de x.

Isolamos y na segunda equação:

$\displaystyle\mathsf{xy = 8}\\\displaystyle\mathsf{y = \frac{8}{x}.}$

Substituímos a nova equação em y da primeira equação:

$\displaystyle\mathsf{x^2 + \left(\frac{8}{x}\right)^2 = 20}\\\\\displaystyle\mathsf{x^2 + \frac{64}{x^2} = 20}\\\\\displaystyle\mathsf{\frac{x^4 + 64}{x^2} = 20}\\\\\displaystyle\mathsf{x^4 + 64 = 20x^2}\\\displaystyle\mathsf{x^4 - 20x^2 + 64 = 0\\}$.

Vamos fazer uma substituição para encontrarmos o resultado. Seja u = x², daí:

(x²)² - 20x² + 64 = 0

u² - 20u + 64 = 0.

Agora podemos resolver a equação.

$\displaystyle\mathsf{\Delta = b^2 - 4ac }\\\displaystyle\mathsf{\Delta = (-20)^2 - 4.1.64 }\\\displaystyle\mathsf{\Delta = 400 - 256}\\\displaystyle\mathsf{\Delta = 144 }$

$\displaystyle\mathsf{u = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}}\\\displaystyle\mathsf{u = \frac{-(-20) \pm \sqrt{144}}{2.1}}\\\displaystyle\mathsf{u = \frac{20 \pm 12}{2}}\\\displaystyle\mathsf{u = 16 \: ou \: u = 4}$.

Como x² = u, devemos tirar a raiz quadrada das soluções encontradas para u.

u = 4

x² = 4

x = $\displaystyle\mathsf{\pm2}$

u = 16

x² = 16

x = $\displaystyle\mathsf{\pm4}$

Com x encontrado, vamos encontrar o valor de y. Para isso, substituímos o valor de x na primeira equação.

Para x = 2

xy = 8

2y = 8

y = 4.

Para x = -2

xy = 8

-2y = 8

y = -4.

Para x = 4

xy = 8

4y = 8

y = 2.

Para x = -4

xy = 8

-4y = 8

y = -2

Agora podemos descobrir (x + y), já que temos os pares ordenados (2, 4), (-2, -4), (4, 2) e (-4, -2).

(2, 4): (2 + 4) = 6

(-2, -4): (-2 - 4) = -6

(4, 2): (4 + 2) = 6

(-4, -2): (-4 - 2) = -6.

Essas foram as respostas obtidas. Acredito que há um erro de digitação na questão: era para ser o valor de (x + y)², porque aí teríamos uma resposta que está na alternativa (36).