Question

sendo x²=343; y³=49² e z^6=7^5
Agradeço desde já.

Answer 1

Bom dia 

os dados 

x² = 343
y³ = 49²
z⁶ = 7⁵ 

potencias de 7
x² = 343 = 7³
y³ = 7⁴ 
z⁶ = 7⁵ 

agora x,y,z em potencias de 7 
x = 7*7^(1/2)
y = 7*7'(1/3)
z = 7^(5/6)

k = (xy/z) = 7^(1 + 1/2 + 1 + 1/3 - 5/6) = 7^2 = 49 
49^24 = 36703368217294125441230211032033660188801, 

algarismos das unidades é 1 

Answer 2

Olá.

 

Temos a expressão:

 

$\Large\begin{array}{l} \mathsf{\left(\dfrac{xy}{z}\right)^{24}} \end{array}$

 

O “grande ponto” dessa questão está na fatoração de potências (mostro mais abaixo).

 

O primeiro passo para se resolver essa questão é aplicar o expoente igualmente na fração, seguindo uma propriedade de potência.

 

$\Large\begin{array}{l} \mathsf{\left(\dfrac{a\cdot b}{c}\right)^n=\dfrac{a^n\cdot b^n}{c^n}} \end{array}$

 

Aplicando o que foi mostrado, teremos:

 

$\Large\begin{array}{l} \mathsf{\left(\dfrac{xy}{z}\right)^{24}=}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{x^{24}\cdot y^{24}}{z^{24}}} \end{array}$

 

O próximo passo é fatorar de modo que possamos substituir pelas potências dadas no enunciado, são elas: x², y³, z⁶. Usarei a seguinte propriedades:

 

$\Large\begin{array}{l} \mathsf{a^{m\cdot n}=\left(a^m\right)^n} \end{array}$

 

Aplicando o que foi mostrado, buscando trocar valores, teremos:

 

$\Large\begin{array}{l} \mathsf{\dfrac{x^{24}\cdot y^{24}}{z^{24}}=}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{\left(x^2\right)^{12}\cdot\left(y^3\right)^{8}}{\left(z^6 \right)^{4}}} \end{array}$

 

Agora, devemos substituir os valores das incógnitas pelo que foi dado no enunciado. Teremos:

 

$\Large\begin{array}{l} \mathsf{\dfrac{\left(x^2\right)^{12}\cdot\left(y^3\right)^{8}}{\left(z^6 \right)^{4}}=}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{\left(343\right)^{12}\cdot\left(49^2\right)^{8}}{\left(7^5 \right)^{4}}=}\end{array}$

 

Agora, para ser mais rápido futuramente, é interessante colocar todas as potências na base 7. Para isso, devemos fatorar esses valores por 7 até chegar na forma reduzida. Teremos:

 

$\Large\begin{array}{l} \begin{array}{r|l} 343&7\\ 49&7\\ 7&7\\ 1\end{array}~~~~~\begin{array}{r|l} 49&7\\ 7&7\\ 1\end{array}\\\\\\ \begin{cases} \mathsf{7^3=}&\mathsf{343}\\\\ \mathsf{7^2=}&\mathsf{49} \end{cases} \end{array}$

 

Substituindo valores, aplicando o que foi supracitado, vamos aos cálculos.

 

$\Large\begin{array}{l}\mathsf{\dfrac{\left(343\right)^{12}\cdot\left(49^2\right)^{8}}{\left(7^5 \right)^{4}}=}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{\left(7^3\right)^{12}\cdot\left(\left(7^2\right)^2\right)^{8}}{\left(7^5 \right)^{4}}=}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{7^{3\cdot12}\cdot\left(7^{2\cdot2}\right)^{8}}{7^{5\cdot4}}=}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{7^{36}\cdot\left(7^{4}\right)^{8}}{7^{20}}=}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{7^{36}\cdot7^{4\cdot8}}{7^{20}}=}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{7^{36}\cdot7^{32}}{7^{20}}=}\end{array}$

 

Agora, devemos aplicar a propriedade de produto de potências de mesma base, que em sua forma algébrica é da seguinte maneira:

 

$\Large\begin{array}{l} \mathsf{a^{r}\cdot a^s=a^{r+s}} \end{array}$

 

Aplicando, teremos:

 

$\Large\begin{array}{l} \mathsf{\dfrac{7^{36}\cdot7^{32}}{7^{20}}=}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{7^{36+32}}{7^{20}}=}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{7^{68}}{7^{20}}} \end{array}$

 

Para a divisão de potências de mesma base, aplicamos a seguinte propriedade:

 

$\Large\begin{array}{l} \mathsf{a^m\div a^n=a^{m-n}} \end{array}$

 

Aplicando, teremos:

 

$\Large\begin{array}{l} \mathsf{\dfrac{7^{68}}{7^{20}}=}\\\\\\ \mathsf{7^{68-20}=}\\\\ \boxed{\mathsf{7^{48}}} \end{array}$

 

Agora, temos que saber qual o algarismo das unidades dessa expressão, ou seja, o último algarismo. O primeiro passo é descobrir a periodicidade em que se repete os algarismos a partir das potências. Vamos testar.

 

$\Large\begin{array}{l} \mathsf{7^0=1}\\\\ \mathsf{7^1=7}\\\\ \mathsf{7^2=49}\\\\ \mathsf{7^3=343}\\\\ \mathsf{7^4=2.401}\\\\ \mathsf{7^5=16.807}\\\\ \mathsf{7^6=117.649}\\\\ \mathsf{7^7=823.543} \end{array}$

 

É possível observar que, em uma divisão do expoente por 4, teremos as seguintes regras:

 

     Se o resto for 0, o último algarismo será 1;

     Se o resto for 1, o último algarismo será 7;

     Se o resto for 2, o último algarismo será 9;

     Se o resto for 3, o último algarismo será 3;

 

Dividindo 48 por 4, temos como quociente 12 e resto 0, logo, podemos afirmar que o último algarismo será 1.

 

Com isso, podemos concluir que a resposta correta está na alternativa A.

 

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$