Question

Sendo x1 e x2 as raízes de uma equação do 2º grau, e sabendo-se que x1 + x2 = 3/2 e x1 . x2 = -1, qual o valor que obteremos na resolução da sentença 1/x1 + 1/x2 ?

Answer 1

Considerações iniciais:

A soma das raízes, podem ser representadas por:

$S=(x_1+x_2)=\frac{-b}{a}$


E o produto, por:

$P=(x_1 \times x_2)=\frac{c}{a}$


Assim podemos encontrar os valores dos termos da equação do segundo grau:

$S=(x_1+x_2)=\frac{-b}{a}=\frac{3}{2}\ \ \ \ \ b=-3\ \ \ \ a=2\\\\\\\\ P=(x_1 \times x_2)=\frac{c}{a}\\\\ \frac{c}{2}=-1\\\\ c=-2$


Com os termos encontrados, podemos montar a equação:

$2x^2-3x-2=0\\\\\\ Aplicando\ Bh\'askara:\\\\\\ x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4.a.c}}{2.a}\\\\ x=\dfrac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-4.(2).(-2)}}{2.(2)}\\\\ x=\dfrac{3\pm\sqrt{9+16}}{4}\\\\ x=\dfrac{3\pm\sqrt{25}}{4}\\\\ x=\dfrac{3\pm5}{4}\\\\ x'=\dfrac{3+5}{4}=\dfrac{8}{4}=2\\\\ x''=\dfrac{3-5}{4}=\dfrac{-2}{4}=-\dfrac{1}{2}$


Encontrada as raízes, podemos calcular a operação solicitada:

$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}\\\\\\ =\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{-\frac{1}{2}}\\\\\\ =\dfrac{1}{2}+(1\times-\frac{2}{1})\\\\\\ =\dfrac{1}{2}-2\\\\\\ \boxed{=-\dfrac{3}{2}}$


Espero ter ajudado.
Bons estudos!