Question

Sendo x um número inteiro, a mediana do conjunto {3, 7, 2, -3, 13, 9, -1, x} de oito números é igual a 7/2. O valor de x é: help! :)
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7

Answer 1

O valor de x é: b) 4.

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Deseja-se calcular x sabendo que mediana de {3, 7, 2, – 3, 13, 9, – 1, x} é igual a 7/2, onde x ∈ $\mathbb{Z}$. Primeiro relembre-se que para calcular a mediana de um conjunto numérico de elementos é imprescindível assentá-los em ordem crescente ou decrescente. Após isto, podemos perceber dois tipos de casos:

• 1º caso: o conjunto é composto por uma qntde PAR. Se isso ocorrer, a mediana será obtida calculando-se a média aritmética entre os dois termos centrais desse grupo (que é a metade da soma entre os dois elementos centrais);
• 2º caso: o conjunto é composto por uma qntde ÍMPAR. Se isso ocorrer, a mediana será o único elemento central desse grupo.

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Em nosso caso há uma incógnita no conjunto, logo não sabemos qual posição ela ocupa. Diante do supraexposto, ao assentar os elementos em ordem crescente teremos algumas suposições:

$\tt\left\{-\,3,\,-\,1,~2,~3,~7,~9,~13,~x\right\}~\sf(i)$

$\tt\left\{-\,3,\,-\,1,~2,~3,~7,~9,~x,~13\right\}~\sf(ii)$

$\tt\left\{-\,3,\,-\,1,~2,~3,~7,~x,~9,~13\right\}~\sf(iii)$

$\tt\left\{-\,3,\,-\,1,~2,~3,~x,~7,~9,~13\right\}~\sf(iv)$

$\tt\left\{-\,3,\,-\,1,~2,~x,~3,~7,~9,~13\right\}~\sf(v)$

$\tt\left\{-\,3,\,-\,1,~x,~2,~3,~7,~9,~13\right\}~\sf(vi)$

$\tt\left\{-\,3,~x,\,-\,1,~2,~3,~7,~9,~13\right\}~\sf(vii)$

$\tt\left\{x,\,-\,3,\,-\,1,~2,~3,~7,~9,~13\right\}~\sf(viii)$

$\underbrace{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad~~~~~~~~~}_{\sf8~ elementos~(par)}$

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Sabemos que apenas UM destes conjuntos é verdadeiro, vamos encontrá-lo a seguir.

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Como a mediana deste tal conjunto é igual a 7/2, sendo a qntde par, tem-se que:

$\tt\dfrac{ec_4+ec_5}{2}=\dfrac{7}{2}~\Leftrightarrow~ec_4+ec_5=7$

(ec₄ e ec₅ são os dois elementos centrais.)

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Agora note que soma ec₄ + ec₅ das suposições (i), (ii), (iii) e (vi), (vii), (viii) são, respectivamente, $\tt3+7=10\neq7$ e $\tt2+3=5\neq7$, então elas são falsas pois não satisfazem ec₄ + ec₅ = 7 (além de não ajudar-nos a encontrar x), podendo ser descartadas. Já nas suposições (iv) e (v) teremos $\tt3+x=7~\Rightarrow~x=4$; como a ordem dos elementos é crescente e 4 > 3, a suposição (iv) é a verdadeira.

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$\sf(iv):\tt\left\{-\,3,\,-\,1,~2,~3,~\boxed{\tt4},~7,~9,~13\right\}$

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Então sendo x = 4, a alternativa b é o gabarito.

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Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.