Question

Sendo x pertencendo ao 1º quadrante, calcule o valor do sen2x, sabendo que cosx=3/5 (três quintos).

Answer 1

Olá, boa noite.

Para calcularmos o valor desta expressão, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Sabendo que $x$ pertence ao primeiro quadrante, devemos calcular o valor de $\sin(2x)$ dado que $\cos(x)=\dfrac{3}{5}$.

Primeiro, lembre-se que:

• A fórmula do arco duplo para a função seno: $\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$.
• A identidade fundamental da trigonometria: $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$.

A partir da equação fundamental, podemos calcular o valor do seno. Dado que $x$ pertence ao primeiro quadrante e sabendo que a função seno é estritamente positiva neste quadrante, fazemos:

$\sin(x)=\sqrt{1-\cos^2(x)}\\\\\\\ \sin(x)=\sqrt{1-\left(\dfrac{3}{5}\right)^2}$

Calcule a potência

$\sin(x)=\sqrt{1-\dfrac{9}{25}}$

Some as frações

$\sin(x)=\sqrt{\dfrac{25-9}{25}}\\\\\\ \sin(x)=\sqrt{\dfrac{16}{25}}$

Calcule o radical

$\sin(x)=\dfrac{4}{5}$

Substituindo este valor na fórmula do arco duplo, teremos:

$\sin(2x)=2\cdot\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{3}{5}$

Multiplique os valores

$\sin(2x)=\dfrac{24}{25}$

Este é o valor que procurávamos.