Question

Sendo x e y dois números reais positivos, transforme em um único radical cada um dos produtos, simplificando o radical obtido

Answer 1

Vamos lá,

Veja, Mikaoliveira, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Considerando "x" ' "y" dois números reais positivos, transforme as expressões abaixo em um só radical, simplificando o radical obtido.
Veja: vamos chamar cada expressão de um certo "k" apenas para deixá-las igualadas a alguma coisa. Assim, teremos:

a)

k = ¹²√(x⁵) * ¹²√(x) --- como o radical tem o mesmo índice, então poderemos multiplicar os radicandos. Logo:

k = ¹²√(x⁵*x) ---- note que o "x" que está sem expoente tem, na realidade, expoente igual a "1". Apenas não se coloca. Mas é como se fosse assim:

k = ¹²√(x⁵*x¹) ---- aqui temos uma multiplicação de potências da mesma base. Regra: conserva-se a base comum e somam-se os expoentes. Logo:

k = ¹²√(x⁵⁺¹)
k = ¹²√(x⁶) --- agora note que há uma propriedade que "permite" que se simplifique o índice do radical e o expoente do radicando por um mesmo número. Assim, simplificando-se índice e expoente por "6", iremos ficar apenas com:

k = √(x) <--- Esta é a resposta para a questão do item "a".

b)

k = ²⁰√(y³) * ²⁰√(y) ---- efetuando o produto pois os índices são iguais, temos:

k = ²⁰√(y³*y) --- note que o "y" que está sem expoente tem expoente "1". Logo:

k = ²⁰√(y³*y¹) --- novamente temos multiplicação de potências da mesma base. Logo:

k = ²⁰√(y³⁺¹)
k = ²⁰√(y⁴) ---- simplificando-se índice e expoente por "4" iremos ficar apenas com:

k = ⁵√(y) <--- Esta é a resposta para a questão do item "b".

c)

k = ¹⁵√(x⁴y²) * ¹⁵√(xy³) --- como os índices são os mesmos, então vamos efetuar o produto, ficando:

k = ¹⁵√(x⁴y²*xy³) ---- note que o "x" sozinho tem expoente "1". Logo:
k = ¹⁵√(x⁴y²*x¹y³) ---- temos novamente multiplicação de potências da mesma base. Logo:

k = ¹⁵√(x⁴⁺¹.y²⁺³) ----- desenvolvendo:
k = ¹⁵√(x⁵.y⁵) ---- note que isto é a mesma coisa que;
k = ¹⁵√(xy)⁵ ---- simplificando-se índice e expoente por "5", iremos ficar apenas com:

k = ∛(xy) <--- Esta é a resposta para a questão do item "c".

d)

k = ¹⁴√(y³) * ¹⁴√(y³) * ¹⁴√(y) --- como os índices são os mesmos, então vamos efetuar a multiplicação, ficando:

k = ¹⁴√(y³.y³.y) ----- note que o "y" sozinho tem expoente "1". Logo:
k = ¹⁴√(y³.y³.y¹) ---- veja: novamente multiplicação de potências da mesma base. Logo:

k = ¹⁴√(y³⁺³⁺¹)
k = ¹⁴√(y⁷) ---- simplificando-se índice e expoente por "7", iremos ficar apenas com:

k = √(y) <--- Esta é a resposta para a questão do item "d".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.