Question

sendo x e y as raízes da equação V2M²-2V6m-2V2=0 podemos afirmar que o valor de 2/x+2/y é:
a)-V3
b)-2V3
c)2V3
d)0
e)V3

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{b)~-2\sqrt{3}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos este problema, utilizaremos as relações de Girard.

Seja uma equação polinomial de grau 2: $ax^2+bx+c=0$, tal que $a\neq0$.

Ao dividirmos ambos os lados da equação por $a$, teremos:

$x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0$

As relações de Girard nos garantem que, em uma equação de grau 2:

• A soma das raízes é dada por: $S=-\dfrac{b}{a}$.
• O produto das raízes é dada por: $P=\dfrac{c}{a}$.

Podemos reescrever a equação como:

$x^2-Sx+P=0$.

Então, seja a equação $\sqrt{2}m^2-2\sqrt{6}m-2\sqrt{2}=0$. Sabendo que $x$ e $y$  são raízes desta equação, buscamos o valor da expressão $\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{y}$.

Perceba que ao somarmos as frações, temos:

$\dfrac{2\cdot(x+y)}{xy}$.

Dessa forma, devemos determinar a soma e o produto destas raízes.

Divida ambos os lados da equação por $\sqrt{2}$, lembrando que $\sqrt{6}=\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}$

$m^2-2\sqrt{3}m-2=0$.

Utilizando as relações de Girard, facilmente vemos que:

A soma das raízes desta equação é $S=x+y=2\sqrt{3}$.

O produto das raízes desta equação é $P=xy=-2$.

Então, o valor da expressão será:

$\dfrac{2\cdot2\sqrt{3}}{-2}$

Simplifique a fração

$-2\sqrt{3}$

Este é o valor numérico desta expressão e é a resposta contida na letra b).