Question

Sendo x = 2^40, y = 3^30 e z = 5^20, então:

a) x < y < z
b) x < z < y
c) y < z < x
d) z < y < x
e) y < x < z

ME AJUDEM PFVR​

Answer 1

Resposta:

Letra (b)

Explicação passo-a-passo:

Temos que deixar as potências iguais para podermos comparar. Sendo assim, podemos encontrar um fator comum que multiplica as potências e deixarmos elas como a multiplicação de dois números. Nesse caso, podemos ver que as potências são algo do tipo $n \cdot 10$, por exemplo, a potência do 2 é $4 \cdot 10 = 40$.

Separando as potências de cada valor em $n \cdot 10$, achamos:

$x= 2^{4 \cdot 10} = 2^{40} \\y = 3^{3 \cdot 10} =3^{30} \\z = 5^{2\cdot 10} = 5^{20}$

Agora, podemos utilizar a seguinte propriedade de potência:

$a^{n \cdot m} = (a^n)^m$

Aplicando-a para cada valor, temos que:

$x = 2^{4 \cdot 10} = (2^4)^{10} = (16)^{10} = 16^{10}\\y = 3^{3 \cdot 10} = (3^3)^{10} = (27)^{10} = 27^{10}\\z = 5^{2\cdot 10} = (5^2)^{10} = (25)^{10} = 25^{10}$

Agora podemos compará-los como se não estivessem elevado a nenhuma potência. Então encontramos que $16<25<27$, ou seja, $x<z<y$.