Question

sendo uma sucessão U1 = 7 e Un+1 = 2Un +3, qual o termo geral ?

Answer 1

Encontrar a fórmula do termo geral da sequência $\mathsf{(u_n),}$  definida pela seguinte relação de recorrência:

    $\mathsf{u_n}=\left\{ \begin{array}{ll} \mathsf{7,}&\quad\mathsf{se~n=1}\\\\ \mathsf{2u_{n-1}+3,}&\quad\mathsf{se~n>1} \end{array} \right.$

Podemos escrever os termos da sequência e resolver por substituição reversa. Por exemplo:

    $\begin{array}{lcl} \mathsf{u_1}&\!\!=\!\!&\mathsf{7}\\\\ \mathsf{u_2}&\!\!=\!\!&\mathsf{2u_1+3}\\\\\\ \mathsf{u_3}&\!\!=\!\!&\mathsf{2u_2+3}\\\\ &\!\!=\!\!&\mathsf{2(2u_1+3)+3}\\\\ &\!\!=\!\!&\mathsf{2^2u_1+2\cdot 3+3}\\\\\\ \mathsf{u_4}&\!\!=\!\!&\mathsf{2u_3+3}\\\\ &\!\!=\!\!&\mathsf{2(2^2u_1+2\cdot 3+3)+3}\\\\ &\!\!=\!\!&\mathsf{2^3u_1+2^2\cdot 3+2\cdot 3+3} \end{array}$

Perceba o padrão que se segue. No lado direito, é sempre uma potência de 2 multiplicada pelo primeiro termo $\mathsf{u_1,}$  mais a soma de uma progressão geométrica cujo primeiro termo é 3, e a razão é 2. Escrevendo o termo geral,

    $\mathsf{\Longrightarrow\quad u_n=2^{n-1}\cdot u_1+2^{n-2}\cdot 3+2^{n-3}\cdot 3+\ldots+2^1\cdot 3+2^0\cdot 3}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad u_n=2^{n-1}\cdot u_1+(2^{n-2}+2^{n-3}+\ldots+2^1+2^0)\cdot 3}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad u_n=2^{n-1}\cdot 7+3\cdot \displaystyle\sum_{k=0}^{n-2} 2^k}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad u_n=2^{n-1}\cdot 7+3\cdot \dfrac{2^{(n-2)+1}-1}{2-1}}$

    $\mathsf{\Longleftrightarrow\quad u_n=2^{n-1}\cdot 7+3\cdot \dfrac{(2^{n-1}-1)}{1}}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad u_n=2^{n-1}\cdot 7+3\cdot 2^{n-1}-3}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad u_n=2^{n-1}\cdot (7+3)-3}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad u_n=(7+3)\cdot 2^{n-1}-3}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad u_n=10\cdot 2^{n-1}-3,\qquad com~n\in\{1,\,2,\,3,\,\ldots\}.}$

Para verificar que a fórmula acima está correta, basta verificar se ela satisfaz a relação de recorrência inicial:

Para n = 1, encontramos

    $\mathsf{u_1=10\cdot 2^{1-1}-3}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad u_1=10\cdot 2^0-3}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad u_1=10\cdot 1-3}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad u_1=7\qquad \checkmark}$

Para n > 1, calculemos

    $\mathsf{2u_n+3}\\\\ \mathsf{=2\cdot (10\cdot 2^{n-1}-3)+3}\\\\ \mathsf{=2\cdot (10\cdot 2^{n-1}-3)+3}\\\\ \mathsf{=10\cdot 2^{n-1}\cdot 2-2\cdot 3+3}\\\\ \mathsf{=10\cdot 2^{(n-1)+1}-6+3}\\\\ \mathsf{=10\cdot 2^n-3}\\\\ \mathsf{=u_{n+1}\qquad \checkmark}$

Portanto, a fórmula do termo geral é

    $\mathsf{u_n=10\cdot 2^{n-1}-3,\qquad com~n\in\{1,\,2,\,3,\,\ldots\}.}$

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Bons estudos! :-)