Question

sendo um prisma triangular regular cuja aresta da base mede 3 e a altura é de 8, seu volume é de quanto?

Answer 1

Primeiramente calcularei a área do triângulo do prisma. Temos que a medida do lado do triângulo é três, portanto, pelo teorema de Herão, a área do triângulo será dado pela fórmula: $A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.$

Em que:
'p' = semiperímetro do triângulo $\left(p=\frac{a+b+c}{2}\to p=\frac{3+3+3}{2}\to p=\frac{9}{2}\right)$;
'a', 'b' e 'c' são as medidas dos lados do triângulo.

Assim, a área do triângulo é:
$A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\\\\A=\sqrt{\dfrac{9}{2}\cdot\left(\dfrac{9}{2}-3\right)\cdot\left(\dfrac{9}{2}-3\right)\cdot\left(\dfrac{9}{2}-3\right)}\\\\\\A=\sqrt{\dfrac{9}{2}\cdot\left(\dfrac{3}{2}\right)^3}\\\\\\A=\sqrt{\dfrac{9}{2}\cdot\dfrac{27}{8}}\\\\\\A=\sqrt{\dfrac{243}{16}}\\\\\\A=\sqrt{\dfrac{3^2\cdot3^2\cdot3}{2^2\cdot2^2}}\\\\\\A=\dfrac{3\cdot3\sqrt{3}}{2\cdot2}\\\\A=\dfrac{9\sqrt{3}}{4}$


Por fim, para encontrarmos o valor do volume do prisma, basta multiplicar o valor da área do triângulo pela altura do prisma:

$V_p=\dfrac{9\sqrt{3}}{4}\cdot8\longrightarrow \boxed{V_p=18\sqrt{3}}$