Question

Sendo U = R qual a solução da equação a seguir?
4-X = Raiz de (x+2)

A) S= {2}
B) S = {7}
C) S = {2,7}
D) S = {-2,7}

Answer 1

Resolver a equação irracional:

$4-x=\sqrt{x+2}$


$\bullet\;\;$ Antes de resolver, temos que determinar as condições de existência:

O radicando (termo "dentro da raiz quadrada") não pode ser negativo:

$x+2\geq 0\\ \\ \Rightarrow x \geq -2$


O lado esquerdo está igualado à raiz quadrada de um número real. Portanto, também não pode ser negativo:

$4-x\geq 0\\ \\ x \leq 4$


Então, a condição de existência para esta equação é

$x \geq -2\;\text{ e }\;x\leq 4\\ \\ \Rightarrow\;\;-2\leq x\leq 4$


$\bullet\;\;$ Resolver a equação dada, respeitando as condições acima:

$4-x=\sqrt{x+2}$


Elevando os dois lados ao quadrado, temos

$(4-x)^{2}=(\sqrt{x+2})^{2}\\ \\ (4-x)^{2}=x+2\\ \\ 16-8x+x^{2}=x+2\\ \\ x^{2}-8x-x+16-2=0\\ \\ x^{2}-9x+14=0$


Pode-se resolver a equação acima por Bhaskara, mas eu vou fazer por fatoração.


Reescrevendo o termo $-9x$ como $-2x-7x,$ temos

$x^{2}-2x-7x+14=0\\ \\ x\,(x-2)-7\,(x-2)=0$


Agrupando os termos com o fator $(x-2)$ em comum, temos

$(x-2)\,(x-7)=0\\ \\ \begin{array}{rcl} x-2=0&\;\text{ ou }\;&x-7=0\\ \\ x=2&\;\text{ ou }\;&x=7\text{\;\;(n\~{a}o serve, pois }-2\leq x\leq4) \end{array}$


Logo, a única solução válida é $x=2.$


O conjunto solução é

$S=\{2\}$


Resposta: alternativa $\text{A) }S=\{2\}.$