Question

Sendo u=3, v=4 e 240 graus o ângulo entre u e v , calcular
a) u+ v
b) u x ( u- v )
c) 0 volume do paralelepípedo determinado por u x v , u e v .

Answer 1

O volume do paralelepípedo será 72√3 unidades de volume.

Sabemos que o módulo do vetor u é 3 e o módulo do vetor v é 4, e que o ângulo entre eles é de 240°, para calcular a soma, podemos colocar o vetor u no eixo x e o vetor v a 240° dele, dessa forma, teremos suas componentes:

u = 3i

v = -2i - 2√3j

O vetor u + v será:

u+v = 3i - 2i - 2√3j

u+v = i - 2√3j

α = arctg(-2√3/1) = -73,9°

|u+v| = 1² + (2√3)²

|u+v| = √13

Para calcular o produto vetorial, aplicamos:

|a × b| = |a| . |b| . sen α (com 0° ≤ α ≤ 180°)

O vetor u - v será:

u - v = 3i - (-2i - 2√3j)

u - v = 5i + 2√3j

α = arctg(2√3/5) = 34,7°

|u - v| = √37

|u × (u - v)| = 3.√37 . sen 34,7°

|u × (u - v)| = 10,39

O paralelepípedo será formado por u×v, u e v, logo seu volume será dado por:

V = |u×v|.|u|.|v|

O menor ângulo entre u e v é 120°:

|u × v| = 3.4.sen 120°

|u × v| = 6√3

Logo:

V = 6√3.3.4

V = 72√3 u.v