Question

Sendo tg Ø = 2/3 e sen α = 4/5 e pi/2 < α < pi , e 0 < Ø < pi/2 calcule o valor de tg (α + Ø)
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Answer 1

Pela relação fundamental trigonométrica, temos que:

$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$

$(\frac{4}{5})^2+\cos^2\alpha=1$

$\cos^2\alpha=1-\frac{16}{25}$

$\cos^2\alpha=\frac{9}{25}$

$\cos\alpha=\pm\frac{3}{5}$

Como $\alpha$ está no 2º quadrante, seu cosseno é negativo, logo $\cos\alpha=-3/5$. Daí tiramos que $\tan\alpha=\frac{4/5}{-3/5}=-\frac{4}{3}$. Pode-se calcular a tangente da soma desses ângulos pela seguinte fórmula:

$\tan(a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$

Substituindo os valores:

$\tan(\alpha+\phi)=\frac{\tan\alpha+\tan\phi}{1-\tan\alpha\tan\phi}$

$\tan(\alpha+\phi)=\frac{-4/3+2/3}{1-(-4/3)\cdot2/3}$

$\tan(\alpha+\phi)=\frac{-2/3}{1+8/9}$

$\tan(\alpha+\phi)=\frac{-2/3}{17/9}$

$\tan(\alpha+\phi)=-\frac{6}{17}$