Question

Sendo $x \geq 4$, o conjunto-imagemm da função:
$y = \sqrt{x} + \sqrt{x-4}$ é dado por:
o gabarito consta: {y ∈ R| y≥2}.
como proceder com uma função desse tipo?

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se o conjunto-imagem da seguinte função:

y = √(x) + √(x-4)

Antes veja que radicais de índice par EXIGEM que os radicandos sejam maiores ou iguais a zero. Então deveremos impor que os radicandos "x" e "x-4" sejam maiores ou iguais a zero.
Então:

x ≥ 0
e
x - 4 ≥ 0 ---> x ≥ 4.

Logo, entre "x" ser maior ou igual a zero e "x" ser maior ou igual a "4", vai prevalecer esta última hipótese para o domínio, pois sendo "x" ≥ 4 já o será ≥ 0. Logo, é por isso que está informado no enunciado da questão que é para x ≥ 4.

Agora veja: é pedido o conjunto-imagem (y) em função dos valores que "x" poderá assumir. Ora, se temos que:

y = √(x) + √(x-4) , e já vimos que a condição de existência é que "x" seja maior ou igual a "4", então substituiremos o "x" por "4", e é claro que a expressão "y" deverá ser maior ou igual à expressão abaixo (após substituirmos o "x" por "4", pois menor nunca poderia ser):

y ≥ √(4) + √(4-4) 
y ≥ √(4) + √(0) ---- como √(4) = 2 e √(0) = 0, teremos:
y ≥ 2 + 0  ----- ou apenas:
y ≥ 2 ----- Pronto. Esta é a resposta. Este deverá ser o conjunto-imagem.

Se quiser, poderá apresentar o conjunto-imagem da seguinte forma, o que dá no mesmo:

CI = {y ∈ R | y ≥ 2}.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.