Question

Sendo $x + \frac{1}{x} = t$ obter em função de [text]t[/text] o valor de:
a) $x^{2} + \frac{1}{ x^{2}}$
b) $x^{3} + x^{-3}$

Answer 1

a) $x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}$

$x+\dfrac{1}{x}=t\\ \\ \left(x+\dfrac{1}{x} \right )^{2}=t^{2}$


Utilizando o desenvolvimento do quadrado de dois termos (produtos notáveis):

$\left(a+b \right )^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

para $a=x$ e $b=\dfrac{1}{x}$, temos


$x^{2}+2x \cdot \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}=t^{2}\\ \\ x^{2}+2+\dfrac{1}{x^{2}}=t^{2}\\ \\ \boxed{x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}=t^{2}-2}$


b) $x^{3}+x^{-3}$

$x+\dfrac{1}{x}=t\\ \\ x+x^{-1}=t\\ \\ \left(x+x^{-1} \right )^{3}=t^{3}$


Utilizando o desenvolvimento do cubo da soma de dois termos:

$\left(a+b \right )^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$

para $a=x$ e $b=x^{-1}$, temos


$x^{3}+3x^{2}x^{-1}+3xx^{-2}+x^{-3}=t^{3}\\ \\ x^{3}+3x+3x^{-1}+x^{-3}=t^{3}\\ \\ x^{3}+3\cdot \underbrace{\left(x+x^{-1} \right )}_{t}+x^{-3}=t^{3}\\ \\ x^{3}+3t+x^{-3}=t^{3}\\ \\ \boxed{x^{3}+x^{-3}=t^{3}-3t}$