Question

Sendo $x^{2} + y^{2} = 65$ e $x . y =28$ , então $x + y$ é igual a:

Answer 1

Temos que:

$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \\ \\ (x+y)^2 = (x^2 + y^2) + 2xy \\ \\ (x+y)^2 = (65) + 2*28 \\ \\ (x+y)^2 = 65 + 56 \\ \\ (x+y)^2 = 121$

Logo:

$(x+y)^2 = 121 \\ \\ x+y = \sqrt{121} \\ \\ x + y = 11$

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Laura, que a resolução é simples. Tem-se: qual é o valor da soma "x + y", sabendo-se que:

x² + y² = 65     . (I)
e
x*y = 28 ----- isolando "x", teremos:
x = 28/y       . (II)

Vamos substituir, na expressão (I), o valor de "x" encontrado na expressão (II), que é: x = 28/y.
Vamos apenas repetir a expressão (I), que é esta:

x² + y² = 65 ---- substituindo-se "x" por"28/y", teremos:
(28/y)² + y² = 65  ----- desenvolvendo, teremos:
784/y² + y² = 65 ----- mmc = y². Assim, utilizando-o apenas no 1º membro, teremos:

(1*784 + y²*y²)/y² = 65
(784 + y⁴)/y² = 65 ---- multiplicando-se em cruz, ficaremos:
784 + y⁴ = 65y² ----- passando 65y² para o 1º membro, teremos:
784 + y⁴ - 65y² = 0 ---- ordenando, teremos:
y⁴- 65y² + 784 = 0 ---- vamos fazer y² = k. Com isso, ficaremos assim:
k² - 65k + 784 = 0 ----- se você aplicar Bháskara vai encontrar as seguintes raízes:

k' = 16
k'' = 49

Mas veja que fizemos y² = k. Então:

i) Para k = 16, teremos:

y² = 16
y = +-√(16) ---- como √(16) = 4, teremos:
y = +- 4

ii) Para k = 49, teremos:

y² = 49
y = +-√(49) ------ como √(49) = 7, teremos:
y = +- 7

iii) Agora veja: já vimos que x = 28/y, conforme a expressão (II).
Então teremos que:

x = 28/y ----- se substituirmos o "y" por "+-4" iremos encontrar que "x" será:
x = 28/+-4
x = +-7

iv) E se substituirmos o "y" por "+-7", teremos que:

x = 28/y ---- substituindo-se "y" por "+-7", iremos ficar com:
x = 28/+-7
x = +-4 .

v) Assim, como você viu, teremos:

. para y = +-4, encontraremos x = +-7
. para y = +-7, encontraremos: x = +-4.

Assim, sem fazer qualquer distinção, então a soma x + y será:

x + y = +-4 +-7
x + y = +-(4+7)
x + y = +- 11  ----- Esta é a resposta.

Observação: considerando a forma rigorosa de resolução da questão (já que ela não dá qualquer informação sobre se "x' e "y" seriam apenas positivos ou apenas negativos), então, repetimos, a forma rigorosa para a resposta será a que demos.
Contudo, levando em conta o modo tradicional de resolução de questões da espécie, então  a forma de resposta do Gabrieldoyle está muito bem dada. 

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.