Question

Sendo $\sf i = \sqrt{-1}$, unidade imaginária do conjunto dos números complexos, qual o valor da expressão $\sf \cfrac{i^{303} + i^{407} }{i^{14}}$

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos a questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre números complexos e potências de $i$.

Seja $i=\sqrt{-1}$ a unidade imaginária. Buscamos o valor da seguinte expressão:

$\dfrac{i^{303}+i^{407}}{i^{14}}$

Para isso, lembre-se que as potências de $i$ têm período igual a $4$, isto é, considerando $i^0=1,~i^1=i,~i^2=-1$ e $i^3=-i$, estes valores se repetem nesta ordem à medida que o expoente cresce.

Assim, para calcular uma potência qualquer, divide-se o expoente por $4$ e o novo expoente é o resto dessa divisão.

Calculando a potência $i^{303}$, temos:

$303=75\cdot 4 + \bold{3}$, logo $i^{303}=i^3=-i$.

Calculando a potência $i^{407}$, temos:

$407=101\cdot 4 +\bold{3}$, logo $i^{407}=i^3=-i$

Por fim, calculando a potência $i^{14}$, temos:

$14=3\cdot4+\bold{2}$, logo $i^{14}=i^2=-1$

Assim, teremos:

$\dfrac{-i-i}{-1}$

Some os termos semelhantes

$\dfrac{-2i}{-1}$

Simplifique a fração por um fator $(-1)$

$2i~~\checkmark$

Este é o resultado desta expressão.

Answer 2

Resposta:

$\textsf{Leia abaixo}$

Explicação passo a passo:

$\mathsf{\dfrac{i^{303} + i^{407}}{i^{14}}}$

$\mathsf{\dfrac{i.(i^2)^{151} + i.(i^2)^{203}}{(i^2)^{7}}}$

$\mathsf{\dfrac{i.(-1)^{151} + i.(-1)^{203}}{(-1)^{7}}}$

$\mathsf{\dfrac{-i - i}{-1}}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{i^{303} + i^{407}}{i^{14}} = 2i}}}$