Question

Sendo $F(x)= \frac{2}{x-1}$ e $G(x)= \frac{x}{x-3}$ , determine o dominio de :

a) F
    D(R) = {x ∈ R/ x ≠ 1}

b) G
   D(R) = {x ∈ R/ x ≠ 3}

c) f+g
 ???

Duvida na letra C

Answer 1

Vamos lá.

Mateus, estamos entendendo que a questão pede o domínio das funções f(x), g(x) e f(x)+g(x) , conforme disposto nos itens "a", "b" e "c".
Vamos ver cada um.

a) Dê o domínio da função f(x) = 2/(x-1).

Veja: há uma restrição a que o "x" assuma qualquer valor real. Esta restrição é que há incógnita no denominador. Como nenhum denominador poderá ser zero, então teremos que impor que o denominador (x-1) seja DIFERENTE de zero. Assim, imporemos que:

x - 1 ≠ 0
x ≠ 1 --------- Esta é a resposta para o item "a".

Se você quiser, poderá apresentar o domínio da questão do item "a" da seguinte forma (como, aliás, já está lá escrito):

D = {x ∈ R | x ≠ 1} ---- [tradução: o domínio da função são todos os "x" pertencentes aos Reais, tal que "x" é diferente de "1"].


b) Dê o domínio da função g(x) = x/(x-3) .

Veja que o denominador também tem incógnita. Logo teremos também restrição a que "x' possa assumir qualquer valor real nesta questão do item "b". A exemplo da questão do item anterior, note que denominador nenhum poderá ser zero. Então deveremos impor que o denominador (x-3) seja DIFERENTE de zero. Assim:

x - 3 ≠ 0
x ≠ 3 ----- Esta é a resposta para o item "b".

Se quiser, poderá apresentar o domínio da seguinte forma (como aliás já está lá escrito):

D = {x ∈ R | x ≠ 3} ------ [tradução: o domínio são todos os "x" pertencentes aos Reais, tal que "x" é diferente de "3"].


c) Agora vamos para f(x) + g(x). Vamos encontrar tanto a soma como o domínio dessa soma. Assim, teremos:

f(x)+g(x) = 2/(x-1) + x/(x-3) ----- note que o mmc entre os denominadores será (x-1)*(x-3) . Assim, teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador. O resultado que der, multiplica-se pelo numerador):

f(x)+g(x) = [(x-3)*2 + (x-1)*x]/(x-1)*(x-3) ------ desenvolvendo, teremos:
f(x)+g(x) = [2x-6 + x²-x]/(x-1)*(x-3) ---- reduzindo os termos semelhantes no numerador, teremos:

f(x)+g(x) = [x²+x-6]/(x-1)*(x-3) --- ou apenas:
f(x)+g(x) = (x²+x-6)/(x-1)*(x-3)

Agora note: o denominador continua sendo a restrição a que "x" possa assumir qualquer valor real. Assim, e novamente considerando que denominador nenhum poderá ser zero, então teremos que impor que tanto (x-1) como o (x-3) sejam diferentes de zero. Logo, para o denominador, deveremos ter isto (a propósito, veja que não existe nenhuma restrição a que o numerador seja zero. Por isso, a nossa preocupação SEMPRE será com o denominador que NUNCA poderá ser zero):

x-1 ≠ 0
x ≠ 1
e
x-3 ≠ 0
x ≠ 3 .

Assim, como você viu, o domínio da soma f(x)+g(x) será:

x ≠ 1 e x ≠ 3 ------ Esta é a resposta para a questão "c".

Se você quiser, poderá apresentar o domínio assim, a exemplo do que se fez para as questões dos itens anteriores:

D = {x ∈ R | x ≠ 1 e x ≠ 3} ---- [tradução: o domínio são todos os "x" pertencentes aos Reais, tal que "x" é diferente de "1" e "x" é diferente de "3"].

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.