Question

Sendo $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ uma função infinitamente diferenciável satisfazendo $f(0) = 0$, $f(1) = 1$ e $f(x) \geqslant 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$. Mostre que existe um inteiro positivo $n$ e um número real $x$ tal $f^{(n)}(x) < 0$.​

Answer 1

Podemos supor que f'(x) ≥ 0 para todo x. Note que isso implica que f(x) = 0 para x < 0, pois f deve ser crescente e f(0) = 0. Logo, temos $\mathsf{f^{(n)}(0) = 0}$. Em particular, f não pode ser analítica. A intuição aqui é que isso implica que f cresce vagarosamente numa vizinhança de 0. De fato vale que f(x) = o(xⁿ) para todo n, e a sequencia de funções (xⁿ) tende a 0 no intervalo (0,1).

Suponha então que $\mathsf{f^{(n)}(x) \geq 0}$ para todo n  e x. Em particular, isso implica que $\mathsf{f^{(n)}}$ é não decrescente. Portanto temos

$f^{(n)}\left(\dfrac x2\right) \leq f^{(n)} \left(x \right) \implies \displaystyle \int_0^{x}f^{(n)}\left(\dfrac x2\right) \, dx \leq \int_0^x f^{(n)}\left(x) \, dx$

Pelo teorema fundamental do cálculo segue que

$\displaystyle 2 f^{(n-1)}\left(\dfrac x2\right) \leq f^{(n-1)}(x)$

Indutivamente segue que

$f\left(\dfrac x2 \right) \leq \dfrac 1{2^n} \, f(x)$

Como isso vale para todo n, concluímos que f(x) = 0 para todo x > 0. Mas isso contradiz f(1) = 1. Portanto não podemos ter $\mathsf{f^{(n)}(x) \geq 0}$ para todo x e para todo n.