Matemática, perguntado por davidjunior17, 10 meses atrás

Sendo f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} uma função infinitamente diferenciável satisfazendo f(0) = 0, f(1) = 1 e f(x) \geqslant 0 para todo x \in \mathbb{R}. Mostre que existe um inteiro positivo n e um número real x tal f^{(n)}(x) < 0.​

Soluções para a tarefa

Respondido por cassiohvm
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Podemos supor que f'(x) ≥ 0 para todo x. Note que isso implica que f(x) = 0 para x < 0, pois f deve ser crescente e f(0) = 0. Logo, temos \mathsf{f^{(n)}(0) = 0}. Em particular, f não pode ser analítica. A intuição aqui é que isso implica que f cresce vagarosamente numa vizinhança de 0. De fato vale que f(x) = o(xⁿ) para todo n, e a sequencia de funções (xⁿ) tende a 0 no intervalo (0,1).

Suponha então que \mathsf{f^{(n)}(x) \geq 0} para todo n  e x. Em particular, isso implica que \mathsf{f^{(n)}} é não decrescente. Portanto temos

f^{(n)}\left(\dfrac x2\right) \leq f^{(n)} \left(x \right) \implies \displaystyle \int_0^{x}f^{(n)}\left(\dfrac x2\right) \, dx \leq \int_0^x f^{(n)}\left(x) \, dx

Pelo teorema fundamental do cálculo segue que

\displaystyle 2 f^{(n-1)}\left(\dfrac x2\right) \leq f^{(n-1)}(x)

Indutivamente segue que

f\left(\dfrac x2 \right) \leq \dfrac 1{2^n} \, f(x)

Como isso vale para todo n, concluímos que f(x) = 0 para todo x > 0. Mas isso contradiz f(1) = 1. Portanto não podemos ter \mathsf{f^{(n)}(x) \geq 0} para todo x e para todo n.


davidjunior17: Óptima resposta :) [Acabei aplicando o teorema de Bernstein sobre funções monótonas, a resposta ficou interessante acho (eu), obrigado @Cassiohvm :)
davidjunior17: Bom, podemos afirmar que a função f : [0; ∞) → ℝ é
totalmente monótona se f é contínua, f é infinitamente diferenciável em (0; ∞), e (–1)ⁿ f⁽ⁿ⁾(x) é não-negativa para todos inteiros positivos n e para todo x > 0.
davidjunior17: Portanto, para essa função o teorema de Bernstein afirma que existe um não-negativo finito de Borel medindo µ em [0; ∞) tal que f(x) = \int_{0}^{\infty} e⁻ᵗˣ dµ(t) sendo x ≥ 0
davidjunior17: Para a função f como no enunciado do problema, para qualquer que seja M > 0, a restrição de f(M – x) para [0, ∞) é totalmente monótona, então o teorema de Bernstein fornece uma medida de Borel µ para a qual f(M - x) = \int_{0}^{\infty} e⁻ᵗˣ dµ(t) em todo x ≥ 0. Portanto, adoptando x = M, podemos facilmente observar que \int_{0}^{\infty} e⁻ᴹˣ dµ(t) = f(0) = 0. Deste modo, desde µ
seja uma medida não-negativa deve ser deve ser identicamente ZERO ✓
cassiohvm: interessante, eu não conhecia esse teorema
cassiohvm: Eu conhecia esse problema já, essa solução que coloquei é de quem me deu o problema pela primeira vez (na época não consegui fazer)
davidjunior17: A resposta ficou perfeita, gostei do raciocínio!)
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