Sendo uma função infinitamente diferenciável satisfazendo , e para todo . Mostre que existe um inteiro positivo e um número real tal .
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Podemos supor que f'(x) ≥ 0 para todo x. Note que isso implica que f(x) = 0 para x < 0, pois f deve ser crescente e f(0) = 0. Logo, temos . Em particular, f não pode ser analítica. A intuição aqui é que isso implica que f cresce vagarosamente numa vizinhança de 0. De fato vale que f(x) = o(xⁿ) para todo n, e a sequencia de funções (xⁿ) tende a 0 no intervalo (0,1).
Suponha então que para todo n e x. Em particular, isso implica que é não decrescente. Portanto temos
Pelo teorema fundamental do cálculo segue que
Indutivamente segue que
Como isso vale para todo n, concluímos que f(x) = 0 para todo x > 0. Mas isso contradiz f(1) = 1. Portanto não podemos ter para todo x e para todo n.
davidjunior17:
Óptima resposta :) [Acabei aplicando o teorema de Bernstein sobre funções monótonas, a resposta ficou interessante acho (eu), obrigado @Cassiohvm :)
totalmente monótona se f é contínua, f é infinitamente diferenciável em (0; ∞), e (–1)ⁿ f⁽ⁿ⁾(x) é não-negativa para todos inteiros positivos n e para todo x > 0.
seja uma medida não-negativa deve ser deve ser identicamente ZERO ✓
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