Question

Sendo $\alpha +\frac{1}{a}=20$ , quanto é $\alpha ^{2}+\frac{1}{\alpha ^{2} }=20$
(Dica: encontre o valor de ''a'')

Answer 1

$\large{ \boxed{ \boxed{ \sf { \alpha }^{2} + \dfrac{1}{ { \alpha }^{2} } = 398}}}$

Resolução

A questão nos fornece a seguinte expressão:

$\large{ \sf \alpha + \dfrac{1}{ \alpha } = 20}$

Em seguida é solicitado o cálculo da expressão $\sf { \alpha }^{2} + \frac{1}{ { \alpha }^{2} }$.

Para fazermos essa conta, vamos relembrar um produto notável que trata do quadrado da soma de dois números.

Ele é dado por:

$\large{ \boxed{ \sf( a + b {)}^{2} = {a}^{2} + 2ab + {b}^{2} }}$

Considerando este produto notável, vamos considerar a expressão fornecida pela questão e elevar ao quadrado. Assim, obtemos:

$\large{ \sf{\left( \alpha + \dfrac{1}{ \alpha } \right)}^{2} = {20}^{2} }$

Vamos desenvolver o quadrado do primeiro membro aplicando o produto notável dada e desenvolvendo as operações:

$\large{ \boxed{ \begin{array}{} \sf { \alpha }^{2} + 2 \cdot\alpha \cdot\dfrac{1}{ \alpha } + { \left( \dfrac{1}{ \alpha } \right)}^{2} =400 \\ \\ \sf { \alpha }^{2} + 2 \cdot \cancel{\alpha } \cdot\dfrac{1}{ \cancel{ \alpha} } + \dfrac{ {1}^{2} }{ { \alpha }^{2} } = 400 \\ \\ \sf { \alpha }^{2} + 2 \cdot1+ \dfrac{1}{ { \alpha }^{2} } = 400 \\ \\ \sf { \alpha }^{2} + 2 + \dfrac{1}{ { \alpha }^{2} } = 400 \\ \\ \sf { \alpha }^{2} + \dfrac{1}{ { \alpha }^{2} } = 400 - 2 \\ \\ \sf { \alpha }^{2} + \dfrac{1}{ { \alpha }^{2} } = 398 \\ \end{array}}}$

Portanto, obtemos como resposta 398.