Question

Sendo tangente de x=1/3, calcule y=csc x-sen x/sec x-cos x

Answer 1

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Enunciado:

Sendo  tg x = 1/3,  calcule  y = (csc x – sen x)/(sec x – cos x).

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Solução:

Vamos reescrever a expressão de  y  em termos de  tg x,  usando as definições para cossecante e secante.

     $\mathsf{y=\dfrac{csc\,x-sen\,x}{sec\,x-cos\,x}}$


A cossecante é o inverso do seno,  e a secante é o inverso do cosseno:

     $\mathsf{y=\dfrac{\frac{1}{sen\,x}-sen\,x}{\frac{1}{cos\,x}-cos\,x}}$


Como condição de existência,  temos que ambos  sen x  e  cos x  são diferentes de zero.  Então, podemos multiplicar o numerador e o denominador por
sen x · cos x  para simplificar:

     $\mathsf{y=\dfrac{\left(\frac{1}{sen\,x}-sen\,x\right)\cdot sen\,x\cdot cos\,x}{\left(\frac{1}{cos\,x}-cos\,x\right)\cdot sen\,x\cdot cos\,x}}\\\\\\ \mathsf{y=\dfrac{\frac{\,\diagup\!\!\!\!\!\! sen\,x\,\cdot\, cos\,x}{\,\diagup\!\!\!\!\!\! sen\,x}-sen^2\,x\cdot cos\,x}{\frac{sen\,x\,\cdot\, \:\diagdown\!\!\!\!\!\! cos\,x}{\,\diagdown\!\!\!\!\!\! cos\,x}-sen\,x\cdot cos^2\,x}}\\\\\\ \mathsf{y=\dfrac{cos\,x-sen^2\,x\cdot cos\,x}{sen\,x-sen\,x\cdot cos^2\,x}}$


Coloque  cos x  em evidência no numerador,  e  sen x  em evidência no denominador:

     $\mathsf{y=\dfrac{cos\,x\cdot (1-sen^2\,x)}{sen\,x\cdot (1-cos^2\,x)}}$


Pela Relação Fundamental da Trigonometria, segue que

     •   1 – sen² x = cos² x

     •   1 – cos² x = sen² x


e a expressão fica

     $\mathsf{y=\dfrac{cos\,x\cdot cos^2\,x}{sen\,x\cdot sen^2\,x}}\\\\\\ \mathsf{y=\dfrac{cos^3\,x}{sen^3\,x}}\\\\\\ \mathsf{y=\left(\dfrac{cos\,x}{sen\,x}\right)^{\!3}}\\\\\\ \mathsf{y=\bigg(\dfrac{1}{~\frac{sen\,x}{cos\,x}~}\bigg)^{\!3}}$

     $\mathsf{y=\left(\dfrac{1}{tg\,x}\right)^{\!3}}$


Agora, substitua o valor dado:  tg x = 1/3,  e você obtém

     $\mathsf{y=\bigg(\dfrac{1}{~\frac{1}{3}~}\bigg)^{\!3}}\\\\\\ \mathsf{y=3^3}$

     $\boxed{\begin{array}{c}\mathsf{y=27}\end{array}}$    <————    esta é a resposta.


Bons estudos! :-)