Question

Sendo Sn = 1 + 2 + 3 + ... + n, determinar $\lim_{n \to \infty} \sqrt{S n+1} - \sqrt{Sn}$

Answer 1

Temos a sequência

Sₙ = 1 + 2 + ... + n

que é a soma dos termos de uma progressão aritmética. Assim, vale que

$S_n = 1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}2$

Logo temos também

$S_{n+1} = \dfrac{(n+1)(n+2)}2$

Voltando ao problema, para resolvermos o limite

$L = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \, \sqrt{ S_{n+1} } - \sqrt {S_n}$

começamos multiplicando e dividindo por $\sqrt{ S_{n+1} } + \sqrt {S_n}$:

$L = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \, \dfrac{S_{n+1} - S_n}{\sqrt{ S_{n+1} } + \sqrt {S_n}}$

Note que Sₙ₊₁ - Sₙ = n +1. Para o denominador usaremos as fórmulas:

$L = \displaystyle \lim_{n \to \infty}\, \dfrac{n+1}{ \sqrt{ \dfrac{n^2 + 3n + 2}{2}} + \sqrt{ \dfrac{n^2 +n}{2}}} = \lim_{n \to \infty}\, \sqrt 2 \cdot\dfrac{n+1}{ \sqrt{ n^2 + 3n + 2} + \sqrt{ n^2 +n}}$

Fatorando n no denominador e numerador ficamos com

$L = \displaystyle \lim_{n \to \infty}\,\dfrac{n\sqrt 2\left(1 + \dfrac 1n \right)}{ n \left( \sqrt{ 1+ \dfrac 3n + \dfrac 2{n^2}} + \sqrt{ 1 + \dfrac 1n}\right)}$

Cancelando n a indeterminação some. O numerador tende a √2 e o denominador tende a 2. Logo, L = √2 / 2

Resposta:

O limite é √2 / 2