Question

Sendo senx = 4/5 e cosy = 12/13, em 0 <=x <= pi/2 e 0 <=y <= pi/2, determine:

a) sen (x + y)
b) tg (x – y)

Answer 1

Resposta:

a) sen (x + y) = 63/65

b) tg (x - y) = 33/56

Explicação passo-a-passo:

Observe que a questão fornece, apenas, os valores de sen x e cos y, e ficaram faltando, propositalmente, os valores de sen y, cos x, tg x e tg y. Iremos calcular seus valores.

Cálculo de sen y:

sen² y + cos² y = 1

sen² y + (12/13)² = 1

sen² y + 144/169 = 1

sen² y = 1 - (144/169)

sen² y = (169 - 144)/169

sen² y = 25/169

sen y = √(25/169)

sen y = 5/13

Cálculo de cos x:

sen² x + cos² x = 1

(4/5)² + cos² x = 1

16/25 + cos² x = 1

cos² x = 1 - (16/25)

cos² x = (25 - 16)/25

cos² x = 9/25

cos x = √(9/25)

cos x = 3/5

Cálculo de tg x:

tg x = sen x / cos x

tg x = 4/5 / 3/5

tg x = 4/5 . 5/3

tg x = 4/3

Cálculo de tg y:

tg y = sen y / cos y

tg y = 5/13 / 12/13

tg y = 5/13 . 13/12

tg y = 5/12

a) Cálculo de sen (x + y):

sen (x + y) = sen x . cos y + sen y . cos x

sen (x + y) = 4/5 . 12/13 + 5/13 . 3/5

sen (x + y) = 48/65 + 15/65

sen (x + y) = 63/65

b) Cálculo de tg (x - y):

tg (x - y) = (tg x - tg y) / (1 + tg x . tg y)

tg (x - y) = (4/3 - 5/12) / (1 + (4/3).(5/12))

tg (x - y) = ((16 - 5)/12) / (1 + 20/36)

tg (x - y) = 11/12 / (1 + 5/9)

tg (x - y) = 11/12 / (9 + 5)/9

tg (x - y) = 11/12 / 14/9

tg (x - y) = 11/12 . 9/14

tg (x - y) = 99/168

tg (x - y) = 33/56

Answer 2

Aplicando as identidades trigonométricas teremos as seguintes soluções:

a)

 $\sin(x+y)=\dfrac{63}{65}$

b)

$\tan(x-y)=\dfrac{33}{56}$

Trigonometria

Para responder a estas questões vamos plicar as seguintes identidades trigonométricas:

• Seno da Soma:

$\sin(x+y)=\sin x\cdot \cos y+\sin y\cdot \cos x$

• Tangente da Diferença:

$\tan(x-y)=\dfrac{\tan x-\tan y}{1+\tan x \cdot \tan y}$

• Relação Fundamental da Trigonometria

$\sin^2 x+\cos^2 x=1$

Sabendo que o arco $x$ pertence ao primeiro quadrante e que seno é a razão entre cateto oposto e hipotenusa temos cateto oposto 4k e hipotenusa 5k, logo o triângulo é pitagórico e possui cateto adjacente igual a 3k e portanto o valor do cosseno de $x$ é:

$\cos x=\dfrac{3}{5}$

De maneira análoga, como $y$ pertence ao primeiro quadrante e cosseno é a razão entre cateto adjacente e hipotenusa termos cateto adjacente 12k e hipotenusa 13k, assim o cateto oposto vale 5k, pois o triângulo também é pitagórico.

$\sin y=\dfrac{5}{13}$

a) Aplicando a identidade do seno da soma e substituindo seus respectivos valores teremos:

$\sin(x+y)=\sin x\cdot \cos y+\sin y\cdot \cos x\\\\\sin(x+y)=\dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{12}{13}+\dfrac{5}{13}\cdot \dfrac{3}{5}\\\\\sin(x+y)=\dfrac{48}{65}+\dfrac{15}{65}\\\\\sin(x+y)=\dfrac{63}{65}$

b) Aplicando a identidade da tangente da diferença e substituindo seus respectivos valores obtemos:

$\tan(x-y)=\dfrac{\tan x-\tan y}{1+\tan x \cdot \tan y}\\\\\\\tan(x-y)=\dfrac{\dfrac{\sin x}{\cos x}-\dfrac{\sin y}{\cos y}}{1+\dfrac{\sin x}{\cos x} \cdot \dfrac{\sin y}{\cos y}}\\\\\\\tan(x-y)=\dfrac{\dfrac{4}{3}-\dfrac{5}{12}}{1+\dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{5}{12}}\\\\\\\tan(x-y)=\dfrac{\dfrac{33}{36}}{\dfrac{56}{36}}\\\\\\\tan(x-y)=\dfrac{33}{56}$

Para saber mais sobre Trigonometria acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/53982660

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