Question

Sendo senx = 4/5 e cosy = 12/13, com x e y o 1º quadrante, determine o valor de sen (x + y) : A. 45/63 B. 65/63 C. 63/65 D. 63/45 E. 1

Answer 1

Temos que:

$\triangleright \star \triangleleft \: \: \: \sf sen(x) = \frac{4}{5} \: \: \: e \: \: \: cos(y) = \frac{12}{13} \: \triangleright \star \: \triangleleft$

A questão nos fornece esses valores de seno e cosseno e partir dos mesmos pergunta o valor de sen (x + y).

• Devemos lembrar que sen(x + y) é uma das possibilidades de fórmula da adição de arcos, ela é dada por:

$\orange\bigstar\:\sf sen(x \: + \: y) = sen(x).cos(y) + sen(y).cos(x)$

Temos alguns elementos da fórmula, mas ainda necessitamos encontrar o cos(x) e o sen(y), para isso vamos usar a relação fundamental da trigonometria, dada por:

$\orange\bigstar\: \sf sen {}^{2} ( \alpha ) + cos {}^{2} ( \alpha ) = 1$

• Primeiro vamos calcular o seno de "y":

$\sf sen {}^{2}( y )+ cos {}^{2} (y )= 1 \\ \sf sen {}^{2} (y) + \left( \frac{12}{13} \right) {}^{2} = 1 \\ \sf sen {}^{2} (y) = \frac{144}{169} = 1 \\ \sf sen {}^{2} (y) = 1 - \frac{144}{169} \\ \sf sen {}^{2} (y) = \frac{169 - 144}{169} \\ \sf sen {}^{2}( y )= \frac{25}{169} \\ \sf sen(y) = \pm \sqrt{ \frac{25}{169} } \\ \sf sen(y) = \pm\frac{5}{13}$

A questão nos diz que "x" e "y" estão no primeiro quadrante, ou seja, o seno e o cosseno são ambos positivos, então vamos desprezar esse valor negativo.

$\boxed{\sf sen(y) = \frac{5}{13}}$

• Do mesmo jeito que calculamos o seno de "y" iremos calcular o cosseno de "x".

$\sf sen {}^{2} (x) + cos {}^{2} (x) = 1 \\ \sf \left( \frac{4}{5} \right) {}^{2} + cos {}^{2} (x) = 1 \\ \sf \frac{16}{25} + cos {}^{2} (x) = 1 \\ \sf cos {}^{2} (x) = 1 - \frac{16}{25} \\ \sf cos {}^{2} (x) = \frac{25 - 16}{25} \\ \sf cos {}^{2} (x) = \frac{9}{25} \\ \sf cos(x) = \pm \sqrt{ \frac{9}{25} } \\ \sf cos(x) = \pm \frac{3}{5}$

Como eu havia dito o seno e o cosseno no primeiro quadrante são positivos.

$\boxed{ \sf cos(x) = \frac{3}{5}}$

Por fim vamos substituir os dados na fórmula da adição de arcos citada no começo da questão.

$\sf sen(x + y) = sen(x).cos(y) + sen(y).cos(x) \\ \sf sen(x + y) = \frac{4}{5} . \frac{12}{13} + \frac{5}{13} . \frac{3}{5} \\ \sf sen(x + y) = \frac{48}{65} + \frac{15}{65} \\ \boxed{\sf sen(x + y) = \frac{63}{65} }$

Espero ter ajudado